Q1Easy
Cauchy's integral formula: if f is analytic on and inside C (simple closed curve counterclockwise) and z₀ is inside C, then:
Cauchy இன் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம்: f ஆனது C இல் மற்றும் உள்ளே பகுப்பாய்வாக இருந்தால் (எளிய மூடிய வளைவு எதிரெதிர் திசையில்) மற்றும் z₀ C க்குள் இருந்தால், பின்:
- a∮_C f(z)/(z−z₀)dz = f'(z₀) — ∮_C f(z) /(z−z₀)dz = f'(z₀)
- b∮_C f(z)dz = f(z₀) — ∮_C f(z) dz = f(z₀)
- c∮_C f(z)/(z−z₀)dz = 2πi·f(z₀) — ∮_C f(z) /(z−z₀)dz = 2πi· f(z₀)✓ Correct
- d∮_C f(z₀)/(z−z₀)dz = 0 — ∮_C f(z₀) /(z−z₀)dz = 0
Explanation
Cauchy integral formula: f(z₀) = (1/2πi)∮_C f(z)/(z−z₀)dz. This remarkable formula expresses f at an interior point entirely in terms of boundary values. Key consequences: infinite differentiability, Taylor series expansion, all analytic properties.
Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம்: f(z₀) = (1/2πi)∮_C f(z) /(z−z₀)dz. இந்த குறிப்பிடத்தக்க சூத்திரம் எல்லை மதிப்புகளின் அடிப்படையில் ஒரு உட்புற புள்ளியில் f ஐ வெளிப்படுத்துகிறது. முக்கிய விளைவுகள்: எல்லையற்ற வேறுபாடு, டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கம், அனைத்து பகுப்பாய்வு பண்புகள்.
Q2Easy
∮_{|z|=2} (z²+1)/(z−1) dz:
- a2πi·(1²+1) = 4πi✓ Correct
- b0
- c2πi·(1+1) = 4πi
- d2πi
Explanation
f(z)=z²+1 is analytic. z₀=1 is inside |z|=2. By Cauchy: ∮(z²+1)/(z−1)dz = 2πi·f(1) = 2πi·(1+1) = 4πi.
f(z) =z²+1 என்பது பகுப்பாய்வு ஆகும். z₀=1 உள்ளே உள்ளது |z|=2. Cauchy மூலம்: ∮(z²+1)/(z−1)dz = 2πi· f(1) = 2πi·(1+1) = 4πi.
Q3Easy
Cauchy's formula for the n-th derivative: f^{(n)}(z₀) =
n-வது வழித்தோன்றலுக்கான Cauchy இன் சூத்திரம்: f^{(n)}(z₀) =
- an!·f(z₀) — n!· f(z₀)
- bn·(1/2πi)∮_C f'(z)/(z−z₀)dz
- c(1/2πi)∮_C f(z)/(z−z₀)^n dz — (1/2πi)∮_C f(z) /(z−z₀)^n dz
- d(n!/2πi)∮_C f(z)/(z−z₀)^{n+1}dz — (n!/2πi)∮_C f(z) /(z−z₀)^{n+1}dz✓ Correct
Explanation
Cauchy derivative formula: f⁽ⁿ⁾(z₀) = (n!/2πi)∮_C f(z)/(z−z₀)^{n+1} dz. Proof: differentiate the Cauchy formula n times under the integral sign (valid since the integrand is analytic in z₀ away from C).
Cauchy derivative formula: f⁽ⁿ⁾(z₀) = (n!/2πi)∮_C f(z) /(z−z₀)^{n+1} dz. ஆதாரம்: ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் Cauchy சூத்திரத்தை n முறை வேறுபடுத்தவும் (ஒருங்கிணைப்பு C இலிருந்து z₀ இல் பகுப்பாய்வு என்பதால் செல்லுபடியாகும்).
Q4Easy
Cauchy's estimate (bound on Taylor coefficients): if |f(z)| ≤ M on |z−z₀| = r, then:
கௌச்சியின் மதிப்பீடு (டெய்லர் குணகங்களின் அடிப்படையில்): என்றால் | f(z) | ≤ M இல் |z−z₀| = r, பின்னர்:
- a|f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ M — |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ எம்
- b|f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≥ n!M/rⁿ
- c|f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ n!M/rⁿ✓ Correct
- d|f⁽ⁿ⁾(z₀)| = M — |f⁽ⁿ⁾(z₀)| = எம்
Explanation
Cauchy estimate: |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ n!M/rⁿ (Cauchy inequality). From the derivative formula: |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ (n!/2π)·M·2πr/r^{n+1} = n!M/rⁿ.
கௌச்சி மதிப்பீடு: |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ n!M/rⁿ (கௌச்சி சமத்துவமின்மை). வழித்தோன்றல் சூத்திரத்திலிருந்து: |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ (n!/2π)·M·2πr/ r^{n+1} = n!M/rⁿ.
Q5Easy
The Cauchy integral formula implies that analytic functions have Taylor series (are real analytic). The Taylor series of f at z₀ converges in:
Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் டெய்லர் தொடர் (உண்மையான பகுப்பாய்வு) என்று குறிக்கிறது. z₀ இல் f இன் டெய்லர் தொடர் இதில் ஒன்றிணைகிறது:
- aThe largest open disk |z − z₀| < R centered at z₀ contained in D — D-ல் அடங்கியுள்ள z₀-ஐ மையமாகக் கொண்ட மிகப்பெரிய திறந்த வட்டு |z − z₀| < R✓ Correct
- bAll of ℂ regardless of singularities outside D — D-க்கு வெளியே உள்ள ஒருமைப் புள்ளிகளைப் பொருட்படுத்தாமல் முழு ℂ
- cThe boundary circle |z − z₀| = R alone — எல்லை வட்டம் |z − z₀| = R மட்டுமே
- dA small punctured neighborhood excluding z₀ — z₀-ஐத் தவிர்த்து ஒரு சிறிய துளையிடப்பட்ட அண்மை
Explanation
Taylor series of f at z₀ converges in the largest disk not containing any singularity of f. If f is entire (no singularities), the Taylor series converges in all of ℂ (entire function = everywhere-convergent power series).
z₀ இல் உள்ள டெய்லர் தொடர் f இன் எந்த ஒருமையும் இல்லாத மிகப்பெரிய வட்டில் ஒன்றிணைகிறது. f முழுதாக இருந்தால் (ஒருமைப்பாடு இல்லை), டெய்லர் தொடர் அனைத்து ℂ (முழு செயல்பாடு = எல்லா இடங்களிலும்-ஒருங்கிணைந்த ஆற்றல் தொடர்) இல் ஒன்றிணைகிறது.
20 more questions on Cauchy's Integral Formula
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.