Adjoint Operators Projections and the Spectral Theorem — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Adjoint Operators Projections and the Spectral Theorem, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The Hilbert adjoint T* of a bounded operator T on a Hilbert space H is defined by:

ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் H இல் உள்ள ஒரு வரம்பிற்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் T இன் ஹில்பர்ட் இணைந்த T* வரையறுக்கப்படுகிறது:

  1. aT* = -T — டி* = -டி
  2. bT* = T inverse — T* = T தலைகீழ்
  3. c<Tx, y> = <T*x, y>
  4. d<Tx, y> = <x, T*y> for all x, y in H — எல்லா xக்கும் <Tx, y> = <x, T*y>, H இல் y✓ Correct

Explanation

Existence and uniqueness of T* follow from the Riesz representation theorem applied to the bounded functional x -> <Tx, y>.

T* இன் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் வரம்பிற்குட்பட்ட செயல்பாட்டு x -> <Tx, y>க்கு பயன்படுத்தப்படும் Riesz பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

Q2Easy

Which property of the Hilbert adjoint is correct?

ஹில்பர்ட் இணைப்பின் எந்த சொத்து சரியானது?

  1. a(c T)* = c^{-1} T* for all non-zero complex scalar numbers — அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலெண் திசையிலி எண்களுக்கும் (c T)* = c^{-1} T*
  2. b(c T)* = |c| T* (scaling by the absolute modulus amplitude) — (c T)* = |c| T* (முழுமையான மட்டு வீச்சால் அளவிடுதல்)
  3. c(c T)* = c T* (the adjoint mapping is strictly complex linear) — (c T)* = c T* (இணை வரைபடம் கண்டிப்பாக சிக்கலெண் நேரியலானது)
  4. d(c T)* = c_bar T* (the mapping T -> T* is conjugate linear) — (c T)* = c_bar T* (வரைபடம் T -> T* இணை நேரியலானது)✓ Correct

Explanation

The adjoint is conjugate linear, reverses products as (ST)* = T*S*, and is involutive with (T*)* = T. Note the Banach-space conjugate operator is linear, not conjugate linear.

அட்ஜோயிண்ட் கான்ஜுகேட் லீனியர், தயாரிப்புகளை (ST)* = T*S* ஆக மாற்றுகிறது, மேலும் (T*)* = T உடன் ஈடுபாடு கொண்டது. Banach-space conjugate ஆபரேட்டர் நேரியல், கன்ஜுகேட் லீனியர் அல்ல.

Q3Easy

The C*-identity satisfied by the operator norm on a Hilbert space is:

ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸில் ஆபரேட்டர் நெறிமுறையால் திருப்திப்படுத்தப்பட்ட C*-அடையாளம்:

  1. a||T*T|| = 2||T|| — ||டி*டி|| = 2||T||
  2. b||T*T|| = ||T||^2 — ||டி*டி|| = ||டி||^2✓ Correct
  3. c||T*T|| = 0 — ||டி*டி|| = 0
  4. d||T*T|| = ||T|| — ||டி*டி|| = ||டி||

Explanation

It follows from ||Tx||^2 = <T*Tx, x> <= ||T*T|| ||x||^2. This identity is the defining axiom of an abstract C*-algebra and is far stronger than mere submultiplicativity.

இது ||Tx||^2 = <T*Tx, x> <= ||T*T|| ||x||^2. இந்த அடையாளம் ஒரு சுருக்கமான சி*-இயற்கணிதத்தை வரையறுக்கும் கோட்பாடு மற்றும் வெறும் துணைப் பெருக்கத்தை விட மிகவும் வலுவானது.

Q4Easy

A bounded operator T on a Hilbert space is self-adjoint (Hermitian) if:

ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸில் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் T ஆனது சுய-இணைந்த (ஹெர்மிடியன்) என்றால்:

  1. aT* T = I, preserving the inner product strictly between all vectors — அனைத்து வெக்டர்களுக்கும் இடையே உள் பெருக்கலை கண்டிப்பாக பாதுகாக்கும் T* T = I
  2. bT^2 = T, projecting the space onto an invariant closed linear manifold — வெளியை ஒரு மாறாத மூடிய நேரியல் பன்மடி மீது திட்டமிடும் T^2 = T
  3. cT = T*, equivalently <Tx, y> = <x, Ty> for all x, y in H — T = T*, சமமாக அனைத்து x, y in H-க்கும் <Tx, y> = <x, Ty>✓ Correct
  4. dT = -T*, equivalently <Tx, y> = -<x, Ty> for all x, y in H (skew-adjoint) — T = -T*, சமமாக அனைத்து x, y in H-க்கும் <Tx, y> = -<x, Ty> (சரிவு-இணைப்பு)

Explanation

On a COMPLEX Hilbert space, T is self-adjoint if and only if <Tx, x> is real for every x. Self-adjoint operators are the abstract model of real-valued observables.

காம்ப்ளக்ஸ் ஹில்பர்ட் இடத்தில், ஒவ்வொரு xக்கும் <Tx, x> உண்மையானதாக இருந்தால் மட்டுமே T ஆனது சுயமாக இணைந்திருக்கும். சுய-இணைந்த ஆபரேட்டர்கள் உண்மையான மதிப்புள்ள அவதானிப்புகளின் சுருக்க மாதிரி.

Q5Easy

A bounded operator U on a Hilbert space is unitary if:

ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸில் ஒரு வரம்பிற்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் U ஒருநிலையாக இருந்தால்:

  1. aU* U = U U* = I (equivalently U is a surjective linear isometry) — U* U = U U* = I (சமமாக U ஒரு மேற்கோர்த்தல் நேரியல் சமஅளவை)✓ Correct
  2. bU* = -U and U^2 = -I (skew-Hermitian involutory operator) — U* = -U மற்றும் U^2 = -I (சரிவு-ஹெர்மீஷியன் சுருள் செயலி)
  3. cU^2 = U and U = U* (orthogonal projection on a closed subspace) — U^2 = U மற்றும் U = U* (மூடிய துணைவெளி மீதான செங்குத்து திட்டமிடல்)
  4. dU* U = I but U U* != I (isometric shift operator on Hardy space) — U* U = I ஆனால் U U* != I (ஹார்டி வெளி மீதான சமஅளவை நகர்வு செயலி)

Explanation

Note U*U = I alone means U is an isometry but possibly not surjective -- the unilateral shift on l^2 is the standard example of a non-unitary isometry.

குறிப்பு U*U = I மட்டும் என்றால் U என்பது ஒரு ஐசோமெட்ரி, ஆனால் சர்ஜெக்டிவ் அல்ல -- l^2 இல் உள்ள ஒருதலைப்பட்ச மாற்றம் என்பது ஒரு யூனிட்டரி அல்லாத ஐசோமெட்ரியின் நிலையான எடுத்துக்காட்டு.

20 more questions on Adjoint Operators Projections and the Spectral Theorem

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing