Partial Differential Equations — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Partial Differential Equations, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A second-order linear PDE Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + ... = 0 is classified as elliptic if:

ஒரு இரண்டாம்-வரிசை நேரியல் PDE Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + ... = 0 நீள்வட்டமாக வகைப்படுத்தப்பட்டால்:

  1. aA = C = 0
  2. bB^2 - 4AC < 0 (like Laplace equation) — B^2 - 4AC < 0 (லாப்லேஸ் சமன்பாடு போன்றவை)✓ Correct
  3. cB^2 - 4AC = 0 (like heat equation) — B^2 - 4AC = 0 (வெப்ப சமன்பாடு போன்றது)
  4. dB^2 - 4AC > 0 (like wave equation) — B^2 - 4AC > 0 (அலை சமன்பாடு போன்றவை)

Explanation

Discriminant B^2-4AC: < 0 => elliptic (Laplace), = 0 => parabolic (heat), > 0 => hyperbolic (wave).

பாரபட்சமான B^2-4AC : < 0 => நீள்வட்டம் (லேப்ளேஸ்), = 0 => பரவளைய (வெப்பம்), > 0 => அதிபரவளையம் (அலை).

Q2Easy

The one-dimensional heat equation is:

ஒரு பரிமாண வெப்ப சமன்பாடு:

  1. adu/dt = k * d^2u/dx^2 — du/dt = k * d^2u / dx^2✓ Correct
  2. bd^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0 — d^2u / dx^2 + d^2u / dy^2 = 0
  3. cdu/dt = k * (d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2) — du/dt = k * ( dx^20 / dx^21 + dx^22 / dx^23
  4. dd^2u/dt^2 = k * d^2u/dx^2 — d^2u / dt^2 = k * d^2u / dx^2

Explanation

1D heat equation: u_t = k u_xx; parabolic PDE modeling diffusion/heat conduction.

1D வெப்ப சமன்பாடு: u_t = k u_xx; பரவளைய PDE மாடலிங் பரவல்/வெப்ப கடத்தல்.

Q3Easy

The one-dimensional wave equation is:

ஒரு பரிமாண அலை சமன்பாடு:

  1. adu/dt + c*du/dx = 0
  2. bdu/dt = c^2 * d^2u/dx^2 — du/dt = c^2 * d^2u / dx^2
  3. cd^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0 — d^2u / dx^2 + dt^20 / dt^21 = 0
  4. dd^2u/dt^2 = c^2 * d^2u/dx^2 — d^2u / dt^2 = c^2 * d^2u / dx^2✓ Correct

Explanation

1D wave equation: u_tt = c^2 u_xx; hyperbolic PDE with wave speed c.

1D அலை சமன்பாடு: u_tt = dt^22 u_xx; அலை வேகத்துடன் கூடிய அதிபரவளைய PDE c.

Q4Easy

The two-dimensional Laplace equation (for steady-state temperature, potential) is:

இரு பரிமாண லாப்லேஸ் சமன்பாடு (நிலையான-நிலை வெப்பநிலை, சாத்தியம்)

  1. ad^2u/dt^2 = d^2u/dx^2 — d^2u / dt^2 = d^2u / dx^2
  2. bdu/dt = d^2u/dx^2 — du/dt = d^2u / dx^2
  3. cd^2u/dx^2 - d^2u/dy^2 = 0 — dx^20 / dx^21 - dx^22 / dx^23 = 0
  4. dd^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0 — d^2u / dx^2 + d^2u / dy^2 = 0✓ Correct

Explanation

Laplace equation: nabla^2 u = u_xx + u_yy = 0; elliptic PDE; solutions are harmonic functions.

Laplace சமன்பாடு: dx^24 u = u_xx + u_yy = 0; நீள்வட்ட PDE; தீர்வுகள் இணக்கமான செயல்பாடுகள்.

Q5Easy

The method of separation of variables for u(x,t) = X(x)*T(t) in the heat equation u_t = k u_xx gives:

u_t = k u_xx வெப்பச் சமன்பாட்டில் u(x,t) = X(x) * T(t) க்கான மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறை:

  1. ak*T'/T = X'/X = -lambda (first-order spatial gradient ratio) — k*T'/T = X'/X = -lambda (முதல் வரிசை இடவெளி சாய்வு விகிதம்)
  2. bT''/(kT) = X'''/X = -lambda (hyperbolic wave balance) — T''/(kT) = X'''/X = -lambda (அதிபரவளைய அலை சமநிலை)
  3. cT'/(kT) = X''/X = -lambda (separation constant), yielding two ODEs — T'/(kT) = X''/X = -lambda (பிரிப்பு மாறிலி), இரண்டு வகைக்கெழு சமன்பாடுகளைத் தருகிறது✓ Correct
  4. dT' + k*X'' = -lambda (additive mixed coupling parameter) — T' + k*X'' = -lambda (கூட்டு கலப்பு இணைப்பு அளவுரு)

Explanation

Separation: T'/(kT) = X''/X = -lambda; gives X''=-lambda X (eigenvalue problem) and T'=-k lambda T.

பிரித்தல்: T'/(kT) = X''/X = -லாம்ப்டா; X''=-lambda X (eigenvalue problem) மற்றும் T'=-k lambda T ஆகியவற்றைக் கொடுக்கிறது.

20 more questions on Partial Differential Equations

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing