Q1Easy
The contour integral ∫_C f(z)dz along a smooth curve C parametrized by γ(t), a≤t≤b is defined as:
γ(t), a≤t≤b ஆல் ஒரு மென்மையான வளைவு C அளவுருவுடன் இணைந்த ∫_C f(z) dz ஆனது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
- a∫_a^b |f(γ(t))|dt — ∫ _a^b | f(γ(t) )|dt
- b∫_a^b f(t)dt — ∫ _a^b f(t) dt
- c∫_a^b f(γ(t))dt — ∫ _a^b f(γ(t) )dt
- d∫_a^b f(γ(t))γ'(t)dt — ∫ _a^b f(γ(t) )γ'(t)dt✓ Correct
Explanation
For C: z=γ(t), dz=γ'(t)dt, so ∫_C f(z)dz = ∫_a^b f(γ(t))γ'(t)dt. In real terms: ∫(u+iv)(dx+idy) = ∫(udx−vdy) + i∫(vdx+udy).
Cக்கு: z=γ(t), dz=γ'(t)dt, எனவே ∫_C f(z) dz = ∫ _a^b0 _a^b1 )γ'(t)dt. உண்மையான சொற்களில்: ∫(u+iv)(dx+idy) = ∫(udx−vdy) + i∫(vdx+udy).
Q2Easy
The ML (estimation) lemma: |∫_C f(z)dz| ≤
ML (மதிப்பீடு) லெம்மா: |∫_C f(z) dz| ≤
- aM·L — எம்·எல்✓ Correct
- bM/L — எம்/எல்
- c|f|·|dz|
- dL/M — எல்/எம்
Explanation
ML estimate: |∫_C f dz| ≤ max_{z∈C}|f(z)| · length(C) = M·L. This is the complex analogue of |∫f| ≤ ∫|f| ≤ M·L.
ML மதிப்பீடு: |∫_C f dz| ≤ அதிகபட்சம்_{z∈C}| f(z) | · length(C) = M·L. இது |∫f| இன் சிக்கலான அனலாக் ஆகும் ≤ ∫|f| ≤ எம்·எல்.
Q3Easy
Cauchy's theorem (Goursat form): if f is analytic on and inside a simple closed contour C, then:
Cauchy இன் தேற்றம் (Goursat வடிவம்): f என்பது ஒரு எளிய மூடிய விளிம்பு C மற்றும் உள்ளே பகுப்பாய்வாக இருந்தால், பின்:
- a−2πi (with reversed boundary orientation) — −2πi (எதிர் எல்லை நோக்குநிலையுடன்)
- b2πi (from the winding number of the origin) — 2πi (ஆதிப்புள்ளியின் சுற்று எண்ணிலிருந்து)
- c0 (by Cauchy's integral theorem since e^z is entire) — 0 (e^z முழு சார்பு என்பதால் காசியின் தொகையீட்டு தேற்றப்படி)✓ Correct
- dπi (from a simple pole at the origin) — πi (ஆதிப்புள்ளியில் உள்ள எளிய துருவத்திலிருந்து)
Explanation
Cauchy's theorem: ∮_C f dz = 0 if f is analytic in the region enclosed by C. Equivalent to: every analytic function has a local primitive (anti-derivative). Generalizes to: ∮_C f dz depends only on the homotopy class of C.
Cauchy இன் தேற்றம்: ∮_C f dz = 0 என்பது C ஆல் இணைக்கப்பட்ட பகுதியில் எஃப் பகுப்பாய்வாக இருந்தால். இதற்குச் சமம்: ஒவ்வொரு பகுப்பாய்வுச் செயல்பாட்டிற்கும் ஒரு உள்ளூர் பழமையான (எதிர்ப்பு வழித்தோன்றல்) உள்ளது. பொதுமைப்படுத்துகிறது: ∮_C f dz ஆனது C இன் ஹோமோடோபி வகுப்பை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.
Q4Easy
The winding number n(C,z₀) = (1/2πi) ∮_C dz/(z−z₀) equals:
முறுக்கு எண் n(C,z₀) = (1/2πi) ∮_C dz/(z−z₀) சமம்:
- a1 if z₀ is inside C — 1 z₀ C க்குள் இருந்தால்
- b|z₀|
- cThe number of times C winds around z₀ (with sign) — z₀ ஐ சுற்றி C காற்று வீசும் முறை (அடையாளத்துடன்)✓ Correct
- d0 always — 0 எப்போதும்
Explanation
The winding number n(C,z₀) counts how many times (and in which direction) the curve C encircles z₀. For a simple closed curve traversed counterclockwise: n=+1 inside, n=0 outside. This is an integer-valued topological invariant.
முறுக்கு எண் n(C,z₀), C வளைவு z₀ எத்தனை முறை (எந்தத் திசையில்) சுற்றிக் கொண்டிருக்கிறது என்பதைக் கணக்கிடுகிறது. ஒரு எளிய மூடிய வளைவுக்கு எதிரெதிர் திசையில் பயணிக்க: n=+1 உள்ளே, n=0 வெளியே. இது ஒரு முழு எண் மதிப்புடைய இடவியல் மாறுபாடு ஆகும்.
Q5Easy
∮_{|z|=1} z^n dz for integer n:
முழு எண் nக்கு ∮_{|z|=1} z^n dz:
- a∮_C f(z) dz = 0 (vanishes identically on C) — ∮_C f(z) dz = 0 (C-ன் மீது முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியமாகும்)✓ Correct
- b∮_C f(z) dz = 2πi · length(C)
- c∮_C f(z) dz = 2πi · f(z₀) for any interior point z₀ — ஏதேனும் உட்புள்ளி z₀-க்கு ∮_C f(z) dz = 2πi · f(z₀)
- d∮_C f(z) dz = Area(D) · sup_{z∈C} |f'(z)|
Explanation
∮_{|z|=1} zⁿ dz: parametrize z=e^{iθ}, dz=ie^{iθ}dθ. Integral = i∫₀^{2π}e^{inθ}e^{iθ}dθ=i∫₀^{2π}e^{i(n+1)θ}dθ. This is 2πi if n+1=0 (n=−1) and 0 otherwise.
∮_{|z|=1} zⁿ dz: அளவுரு z= e^{iθ} , dz= ie^{iθ}dθ . ஒருங்கிணைந்த = i∫₀^{2π} e^{inθ}e^{iθ}dθ =i∫₀^{2π} e^{i(n+1)θ}dθ . இது n+1=0 (n=−1) என்றால் 2πi மற்றும் இல்லையெனில் 0 ஆகும்.
20 more questions on Complex Integration
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.