Open Mapping and Closed Graph Theorems — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Open Mapping and Closed Graph Theorems, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The open mapping theorem states that a bounded linear operator T from a Banach space X ONTO a Banach space Y is:

திறந்த மேப்பிங் தேற்றம், ஒரு பனாச் ஸ்பேஸ் X இல் இருந்து ஒரு பனாச் ஸ்பேஸ் Y இலிருந்து வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் ஆபரேட்டர் டி:

  1. aA compact operator (maps unit ball to relatively compact image) — ஒரு கச்சிதமான செயலி (அலகு பந்தை தொடர்புடைய கச்சிதமான பிம்பமாக மாற்றுகிறது)
  2. bA linear isometry (preserves norms and inner product distances) — ஒரு நேரியல் சமஅளவை (நெறிமுறைகள் மற்றும் உள் பெருக்கல் தூரங்களைப் பாதுகாக்கிறது)
  3. cA closed map (carries closed bounded sets to compact sets in Y) — ஒரு மூடிய வரைபடம் (மூடிய வரம்புடைய கணங்களை Y-ல் கச்சிதமான கணங்களாக மாற்றுகிறது)
  4. dAn open map (carries open sets in X to open sets in Y) — ஒரு திறந்த வரைபடம் (X-ல் உள்ள திறந்த கணங்களை Y-ல் உள்ள திறந்த கணங்களாக மாற்றுகிறது)✓ Correct

Explanation

Surjectivity is the essential hypothesis, together with completeness of both spaces. Openness is equivalent to T(unit ball of X) containing a ball around 0 in Y.

சர்ஜெக்டிவிட்டி என்பது இரண்டு இடைவெளிகளின் முழுமையுடன் கூடிய அத்தியாவசிய கருதுகோள் ஆகும். திறந்தநிலை என்பது T(unit ball of X)க்கு சமமானது, Y இல் 0 பந்தைக் கொண்டுள்ளது.

Q2Easy

The proof of the open mapping theorem relies on:

திறந்த மேப்பிங் தேற்றத்தின் ஆதாரம் இதை நம்பியுள்ளது:

  1. aArzelà-Ascoli theorem applied to equicontinuous families of operators — செயலிகளின் சமதொடர்ச்சியான குடும்பங்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் அர்செலா-அஸ்கோலி தேற்றம்
  2. bHeine-Borel theorem for locally compact finite-dimensional vector spaces — உள்ளூர் கச்சிதமான முடிவுறு-பரிமாண வெக்டர் வெளிகளுக்கான ஹெய்னே-போரல் தேற்றம்
  3. cBaire category theorem (requiring completeness of both Banach spaces X and Y) — பேர் வகைப்பாடு தேற்றம் (பனாக் வெளிகள் X மற்றும் Y இரண்டின் முழுமைத்தன்மையும் தேவைப்படுகிறது)✓ Correct
  4. dRiesz representation theorem on self-adjoint Hilbert inner product spaces — சுய-இணைப்பு ஹில்பர்ட் உள் பெருக்கல் வெளிகளில் ரீஸ் பிரதிநிதித்துவ தேற்றம்

Explanation

One writes Y as the union of the sets closure of T(nB) and uses Baire to find one with nonempty interior. Hence completeness cannot be dropped.

ஒருவர் T(nB) இன் செட் மூடுதலின் ஒன்றியம் என Y ஐ எழுதுகிறார் மற்றும் காலியாக இல்லாத ஒன்றைக் கண்டறிய Baire ஐப் பயன்படுத்துகிறார். எனவே முழுமையை கைவிட முடியாது.

Q3Easy

The bounded inverse theorem, a corollary of the open mapping theorem, says a bijective bounded linear operator between Banach spaces has:

எல்லைக்குட்பட்ட தலைகீழ் தேற்றம், திறந்த மேப்பிங் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சி, பனாச் இடைவெளிகளுக்கு இடையே உள்ள ஒரு இருமுனை எல்லைக்குட்பட்ட நேரியல் ஆபரேட்டர் கூறுகிறது:

  1. aNo inverse — தலைகீழ் இல்லை
  2. bA bounded (continuous) inverse — ஒரு கட்டுப்பட்ட (தொடர்ச்சியான) தலைகீழ்✓ Correct
  3. cA compact inverse — ஒரு சிறிய தலைகீழ்
  4. dAn unbounded inverse — வரம்பற்ற தலைகீழ்

Explanation

If T is open and bijective then T inverse is continuous. So a continuous linear bijection of Banach spaces is automatically a topological isomorphism.

T என்பது திறந்த மற்றும் இருமுனையாக இருந்தால், T தலைகீழ் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். எனவே பனாச் இடைவெளிகளின் தொடர்ச்சியான நேரியல் பைஜெக்ஷன் தானாகவே ஒரு இடவியல் ஐசோமார்பிசம் ஆகும்.

Q4Easy

The graph of a linear operator T: X -> Y is the set:

நேரியல் ஆபரேட்டரின் வரைபடம் T: X -> Y என்பது தொகுப்பு:

  1. aG(T) = {(x, y) in X x Y : ||Tx - y|| <= 1} (operator tube neighborhood) — பெருக்கல் வெளிக்குள் G(T) = {(x, y) in X x Y : ||Tx - y|| <= 1} (செயலி குழாய் சுற்றுப்புறம்)
  2. bG(T) = {Tx : x in X, ||x|| <= 1} (image of the unit metric ball) — G(T) = {Tx : x in X, ||x|| <= 1} (அலகு தொலைவு பந்தின் பிம்பம்)
  3. cG(T) = {(x, Tx) : x in X} inside the product space X x Y — பெருக்கல் வெளி X x Y-க்குள் G(T) = {(x, Tx) : x in X}✓ Correct
  4. dG(T) = {(x, y) in X x Y : <Tx, y> = 0} (orthogonal duality graph) — G(T) = {(x, y) in X x Y : <Tx, y> = 0} (செங்குத்து இருமை வரைபடம்)

Explanation

G(T) is a linear subspace of X x Y. The operator is called closed when this subspace is closed in the product norm.

G(T) என்பது X x Y இன் நேரியல் துணைவெளியாகும். தயாரிப்பு விதிமுறையில் இந்த துணைவெளி மூடப்படும்போது இயக்கி மூடப்பட்டது என அழைக்கப்படுகிறது.

Q5Easy

The closed graph theorem states that a linear operator T between BANACH spaces X and Y is bounded if and only if:

மூடிய வரைபட தேற்றம், BANACH இடைவெளிகள் X மற்றும் Y க்கு இடையே உள்ள ஒரு நேரியல் இயக்கி T ஆனது பின்வருபவை இருந்தால் மட்டுமே வரம்பிடப்படும் என்று கூறுகிறது:

  1. aIts graph is closed in X x Y — அதன் வரைபடம் X x Y இல் மூடப்பட்டுள்ளது✓ Correct
  2. bIts kernel is closed — அதன் கர்னல் மூடப்பட்டுள்ளது
  3. cIt is injective — இது ஊசி மருந்து
  4. dIts range is closed — அதன் வரம்பு மூடப்பட்டுள்ளது

Explanation

Boundedness always implies a closed graph. The theorem supplies the converse for complete spaces, and it is what makes the closed graph a practical test for continuity.

வரம்பு எப்போதும் ஒரு மூடிய வரைபடத்தைக் குறிக்கிறது. தேற்றம் முழுமையான இடைவெளிகளுக்கான உரையாடலை வழங்குகிறது, மேலும் இது மூடிய வரைபடத்தை தொடர்ச்சிக்கான நடைமுறைச் சோதனையாக மாற்றுகிறது.

20 more questions on Open Mapping and Closed Graph Theorems

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing