Q1Easy
Which of the following is NOT a vector space over ℝ?
பின்வருவனவற்றில் ℝக்கு மேல் திசையன் இடம் இல்லை?
- aThe set of all m×n matrices — அனைத்து m×n மெட்ரிக்குகளின் தொகுப்பு
- bThe set of all continuous functions on [0,1] — [0,1] இல் உள்ள அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு
- cℝⁿ with standard operations — ℝⁿ நிலையான செயல்பாடுகளுடன்
- dThe set of all polynomials of degree exactly 2 — பட்டத்தின் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு சரியாக 2✓ Correct
Explanation
The set of polynomials of degree exactly 2 is not a vector space: 0 is not in it (degree undefined/−∞), and sums can have degree < 2. The set of polynomials of degree ≤ 2 would be a vector space.
பட்டம் சரியாக 2 இன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு ஒரு வெக்டர் ஸ்பேஸ் அல்ல: 0 அதில் இல்லை (டிகிரி வரையறுக்கப்படாத/−∞), மற்றும் தொகைகள் < 2 டிகிரியைக் கொண்டிருக்கலாம். பட்டம் ≤ 2 இன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு ஒரு திசையன் இடமாக இருக்கும்.
Q2Easy
A non-empty subset W of a vector space V is a subspace if and only if:
வெக்டார் ஸ்பேஸ் V இன் காலியாக இல்லாத துணைக்குழு W என்பது துணைவெளி
- aW = V — டபிள்யூ = வி
- bW contains at least n elements — W இல் குறைந்தது n உறுப்புகள் உள்ளன
- cW is closed under addition and scalar multiplication — W கூட்டல் மற்றும் அளவிடல் பெருக்கத்தின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது✓ Correct
- dW contains only the zero vector — W இல் பூஜ்ஜிய திசையன் மட்டுமே உள்ளது
Explanation
The subspace test: W is a subspace iff (1) 0 ∈ W, (2) u,v ∈ W ⟹ u+v ∈ W, (3) u ∈ W, c ∈ F ⟹ cu ∈ W. Conditions (2)+(3) imply (1) if W is non-empty.
துணைவெளி சோதனை: W என்பது ஒரு துணைவெளி IF (1) 0 ∈ W, (2) u,v ∈ W ⟹ u+v ∈ W, (3) u ∈ W, c ∈ F ⟹ cu ∈ W. நிபந்தனைகள் (2)+(3) என்றால் W என்பது (1) அல்லாதது.
Q3Easy
The span of a set S = {v₁, ..., vₖ} in V is:
V இல் S = {v₁, ..., vₖ} தொகுப்பின் இடைவெளி:
- aThe intersection of all subspaces of V — V இன் அனைத்து துணைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு
- bThe largest subspace not containing any vᵢ — எந்த vᵢ இல்லாத மிகப்பெரிய துணைவெளி
- cS itself — எஸ் தானே
- dThe set of all linear combinations of vectors in S — S இல் உள்ள திசையன்களின் அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு✓ Correct
Explanation
span(S) = {c₁v₁ + ... + cₖvₖ : c₁,...,cₖ ∈ F} is the smallest subspace of V containing S. It is always a subspace.
span(S) = {c₁v₁ + ... + cₖvₖ : c₁,...,cₖ ∈ F} என்பது S ஐக் கொண்ட V இன் சிறிய துணைவெளியாகும். இது எப்போதும் ஒரு துணைவெளியாகும்.
Q4Easy
The vectors v₁ = (1,0,0), v₂ = (0,1,0), v₃ = (1,1,0) in ℝ³ are:
ℝ³ இல் உள்ள v₁ = (1,0,0), v₂ = (0,1,0), v₃ = (1,1,0) திசையன்கள்:
- aLinearly dependent and span ℝ³ — நேரியல் சார்ந்து மற்றும் இடைவெளி ℝ³
- bLinearly dependent and span a plane — நேரியல் சார்ந்து மற்றும் ஒரு விமானம் பரவியது✓ Correct
- cAn orthogonal set — ஒரு ஆர்த்தோகனல் தொகுப்பு
- dLinearly independent — நேரியல் சார்பற்றது
Explanation
v₃ = v₁ + v₂, so they are linearly dependent. All three lie in the xy-plane (third component = 0), so their span is the xy-plane, a 2D subspace of ℝ³.
v₃ = v₁ + v₂, எனவே அவை நேரியல் சார்ந்து இருக்கும். இவை மூன்றும் xy-plane (மூன்றாவது கூறு = 0) இல் உள்ளன, எனவே அவற்றின் இடைவெளி xy-plane ஆகும், இது ℝ³ இன் 2D துணைவெளியாகும்.
Q5Easy
The intersection of two subspaces of V is:
V இன் இரண்டு துணைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு:
- aA subspace of V — V இன் துணைவெளி✓ Correct
- bNot necessarily a subspace — ஒரு துணைவெளி அவசியம் இல்லை
- cAlways equal to one of them — அவர்களில் ஒருவருக்கு எப்போதும் சமம்
- dThe direct sum of the two subspaces — இரண்டு துணைவெளிகளின் நேரடி கூட்டுத்தொகை
Explanation
If W₁ and W₂ are subspaces of V, then W₁ ∩ W₂ is also a subspace of V. (The union W₁ ∪ W₂ is generally NOT a subspace.)
W₁ மற்றும் W₂ ஆகியவை V இன் துணைவெளிகளாக இருந்தால், W₁ ∩ W₂ என்பது V இன் துணைவெளியாகும். (W₁ ∪ W₂ ஒன்றியம் பொதுவாக ஒரு துணைவெளி அல்ல.)
20 more questions on Vector Spaces
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.