Space Curves and the Serret-Frenet Formulae — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Space Curves and the Serret-Frenet Formulae, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A space curve r = r(s) is said to be parametrised by arc length when:

ஒரு ஸ்பேஸ் வளைவு r = r(s) ஆனது வில் நீளத்தால் அளவுருவாக இருக்கும் போது:

  1. ar(s) . dr/ds = 0 (the position vector is orthogonal to the tangent) — r(s) . dr/ds = 0 (நிலை வெக்டர் தொடுகோட்டிற்கு செங்குத்தானது)
  2. b|dr/ds| = 0 (the velocity vector vanishes identically along trajectory) — |dr/ds| = 0 (பாதை நெடுகிலும் திசைவேக வெக்டர் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியமாகிறது)
  3. c|dr/ds| = 1 (the tangent vector has unit length everywhere along the curve) — |dr/ds| = 1 (வளைவு நெடுகிலும் எங்கும் தொடுகோட்டு வெக்டர் அலகு நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது)✓ Correct
  4. d|d^2r/ds^2| = 1 (the acceleration vector has constant unit magnitude) — |d^2r/ds^2| = 1 (முடுக்க வெக்டர் நிலையான அலகு அளவைக் கொண்டுள்ளது)

Explanation

Arc length (natural) parametrisation makes the speed identically 1, which is why the Serret-Frenet formulae take their simplest form in terms of s.

ஆர்க் நீளம் (இயற்கை) அளவுருக்கள் வேகத்தை ஒரே மாதிரியாக 1 ஆக்குகிறது, அதனால்தான் செரெட்-ஃப்ரெனெட் சூத்திரங்கள் s இன் அடிப்படையில் எளிமையான வடிவத்தை எடுக்கின்றன.

Q2Easy

For a curve parametrised by arc length s, the unit tangent vector is:

ஆர்க் நீளம் s ஆல் அளவுருக் கொண்ட வளைவுக்கு, அலகு தொடு திசையன்:

  1. at = d^2 r/ds^2 — t = d^2 r/ ds^2
  2. bt = r — t = ஆர்
  3. ct = dr/ds✓ Correct
  4. dt = dr/ds divided by s — t = dr/ds ஐ s ஆல் வகுத்தல்

Explanation

Differentiating the position vector with respect to arc length automatically yields a unit vector. For a general parameter u one must normalise: t = (dr/du)/|dr/du|.

வில் நீளத்தைப் பொறுத்து நிலை திசையனை வேறுபடுத்துவது தானாகவே ஒரு யூனிட் வெக்டரைப் பெறுகிறது. ஒரு பொதுவான அளவுருவிற்கு நீங்கள் இயல்பாக்க வேண்டும்: t = (dr/du)/|dr/du|.

Q3Easy

The curvature kappa of a space curve at a point is defined by:

ஒரு புள்ளியில் ஒரு விண்வெளி வளைவின் வளைவு கப்பா வரையறுக்கப்படுகிறது:

  1. akappa = |dn/ds| (rate of change of unit normal vector along binormal) — kappa = |dn/ds| (துணை செங்குத்து திசையில் அலகு செங்குத்து வெக்டரின் மாறுபாட்டு விகிதம்)
  2. bkappa = dt/ds . db/ds (scalar product of tangent and binormal derivatives) — kappa = dt/ds . db/ds (தொடுகோடு மற்றும் துணை செங்குத்து வகைக்கெழுக்களின் திசையிலிப் பெருக்கல்)
  3. ckappa = |r x r'| (area swept by position vector per unit parameter) — kappa = |r x r'| (அலகு அளவுருவிற்கு நிலை வெக்டரால் துடைக்கப்படும் பரப்பளவு)
  4. dkappa = |dt/ds| (rate of turning of unit tangent vector with respect to arc length) — kappa = |dt/ds| (வில்லின் நீளத்தைப் பொறுத்து அலகு தொடுகோட்டு வெக்டரின் திரும்பும் விகிதம்)✓ Correct

Explanation

Curvature measures how fast the tangent direction changes per unit arc length. A straight line has kappa = 0 everywhere.

ஒரு யூனிட் ஆர்க் நீளத்திற்கு தொடு திசை எவ்வளவு வேகமாக மாறுகிறது என்பதை வளைவு அளவிடுகிறது. ஒரு நேர் கோட்டில் எல்லா இடங்களிலும் கப்பா = 0 உள்ளது.

Q4Easy

The principal normal unit vector n is given by:

முதன்மை சாதாரண அலகு திசையன் n இனால் வழங்கப்படுகிறது:

  1. an = t x (dt/ds) (cross product of tangent and curvature vector) — n = t x (dt/ds) (தொடுகோடு மற்றும் வளைவு வெக்டரின் குறுக்குப் பெருக்கல்)
  2. bn = (1/kappa) dt/ds (defined wherever curvature kappa is strictly non-zero) — n = (1/kappa) dt/ds (வளைவு kappa கண்டிப்பாக பூஜ்ஜியமற்ற இடங்களில் வரையறுக்கப்படுகிறது)✓ Correct
  3. cn = kappa * dt/ds (scaled directly by curvature amplitude) — n = kappa * dt/ds (வளைவு வீச்சால் நேரடியாக அளவிடப்படுகிறது)
  4. dn = (1/tau) db/ds (defined wherever torsion tau is non-vanishing) — n = (1/tau) db/ds (முறுக்கம் tau பூஜ்ஜியமற்ற இடங்களில் வரையறுக்கப்படுகிறது)

Explanation

Since t is a unit vector, dt/ds is perpendicular to t. Normalising it gives n. The principal normal is undefined at points of zero curvature.

t ஒரு அலகு திசையன் என்பதால், dt/ds t க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. அதை இயல்பாக்குவது n ஐ அளிக்கிறது. பூஜ்ஜிய வளைவின் புள்ளிகளில் முதன்மை இயல்பானது வரையறுக்கப்படவில்லை.

Q5Easy

The binormal vector b of a space curve is defined as:

ஒரு ஸ்பேஸ் வளைவின் பைனார்மல் வெக்டார் பி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

  1. ab = t x n✓ Correct
  2. bb = t dot n
  3. cb = n x t
  4. db = t + n

Explanation

The ordered triple (t, n, b) forms a right-handed orthonormal moving frame -- the Frenet trihedron -- attached to each point of the curve.

வரிசைப்படுத்தப்பட்ட டிரிபிள் (t, n, b) வலது கை ஆர்த்தோநார்மல் நகரும் சட்டத்தை உருவாக்குகிறது -- ஃப்ரீனெட் ட்ரைஹெட்ரான் -- வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

20 more questions on Space Curves and the Serret-Frenet Formulae

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing