Systems of ODEs — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Systems of ODEs, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

Any n-th order ODE can be converted to a first order system. The ODE y^{(n)}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)}) is equivalent to x'=Ax+g by setting:

எந்த n-வது வரிசை ODE ஐயும் முதல் வரிசை அமைப்பாக மாற்றலாம். ODE y^{(n)} = f(x,y,y',...,y^{(n-1) }) அமைப்பதன் மூலம் x'=Ax+g க்கு சமம்:

  1. ax₁ = y^{(n)}, x₂ = y^{(n−1)}, ..., x_n = y with reversed differential order — எதிர் வகைக்கெழு வரிசையுடன் x₁ = y^{(n)}, x₂ = y^{(n−1)}, ..., x_n = y
  2. bx₁ = y, x₂ = y', ..., x_n = y^{(n−1)} (companion first-order system) — x₁ = y, x₂ = y', ..., x_n = y^{(n−1)} (துணை முதல் வரிசை அமைப்பு)✓ Correct
  3. cx_k = ∫ y^{(k)} dt as an iterated integral system — மறுசெய்கை தொகை அமைப்பாக x_k = ∫ y^{(k)} dt
  4. dx = (y, f(x,y)) as a two-dimensional projection — இரு பரிமாண வீழலாக x = (y, f(x,y))

Explanation

Companion system: x_1=y,x_2=y',...,x_n=y^{(n-1)}. Then x_1'=x_2, x_2'=x_3,...,x_{n-1}'=x_n, x_n'=f(x,x_1,...,x_n). This converts any ODE to a first-order system, enabling unified analysis.

துணை அமைப்பு: x_1=y,x_2=y',...,x_n= y^{(n-1)} . பிறகு x_1'=x_2, x_2'=x_3,...,x_{n-1}'=x_n, x_n'= f(x,x_1,...,x_n) . இது எந்த ODE ஐயும் முதல்-வரிசை அமைப்பாக மாற்றுகிறது, இது ஒருங்கிணைந்த பகுப்பாய்வை செயல்படுத்துகிறது.

Q2Easy

For the linear system x'=Ax (A constant), if A has eigenvalues lambda_1,...,lambda_n with eigenvectors v_1,...,v_n (distinct eigenvalues), the general solution is:

நேரியல் அமைப்பிற்கு x'=Ax (A மாறிலி), A இல் eigenvalues lambda_1,...,lambda_n உடன் eigenvectors v_1,...,v_n (தனிப்பட்ட eigenvalues) இருந்தால், பொதுவான தீர்வு:

  1. ax(t) = e^{λ₁ t} (v₁ + v₂ + ... + v_n) using a single eigenvalue — ஒற்றை ஐகன் மதிப்பைப் பயன்படுத்தி x(t) = e^{λ₁ t} (v₁ + v₂ + ... + v_n)
  2. bx(t) = A v_k e^{λ_k t} with matrix multiplication on eigenvectors — ஐகன் திசையன்களில் அணிப் பெருக்கலுடன் x(t) = A v_k e^{λ_k t}
  3. cx(t) = ∑_{k=1}^n c_k v_k without time-dependent exponential factors — நேரச் சார்பு அடுக்குக்குறி காரணிகள் இன்றி x(t) = ∑_{k=1}^n c_k v_k
  4. dx(t) = ∑_{k=1}^n c_k e^{λ_k t} v_k (linear combination of eigensolutions) — x(t) = ∑_{k=1}^n c_k e^{λ_k t} v_k (ஐகன் தீர்வுகளின் நேரியல் சேர்க்கை)✓ Correct

Explanation

For distinct eigenvalues: x(t) = sum_{k=1}^n C_k e^{lambda_k t} v_k where Av_k=lambda_k v_k. This is the fundamental solution using eigenvectors. For repeated eigenvalues, generalized eigenvectors and Jordan blocks arise.

தனித்துவமான ஈஜென் மதிப்புகளுக்கு: x(t) = sum_{k=1}^n C_k e^{lambda_k t} v_k, Av_k=lambda_k v_k. ஈஜென்வெக்டர்களைப் பயன்படுத்தும் அடிப்படை தீர்வு இதுவாகும். மீண்டும் மீண்டும் eigenvalues ​​க்கு, பொதுவான eigenvectors மற்றும் Jordan blocks எழுகின்றன.

Q3Easy

For the 2D system x'=ax+by, y'=cx+dy with eigenvalues lambda_1=lambda_2=0 (both zero): the origin is a:

2D அமைப்பிற்கு x'=ax+by, y'=cx+dy ஐஜென் மதிப்புகள் lambda_1=lambda_2=0 (இரண்டும் பூஜ்ஜியம்): தோற்றம்:

  1. aNon-isolated equilibrium (line or plane of fixed points when det(A)=0) — தனிமைப்படுத்தப்படாத சமநிலை (det(A)=0 எனும்போது நிலையான புள்ளிகளின் கோடு அல்லது தளம்)✓ Correct
  2. bStable node with strictly negative distinct eigenvalues — கண்டிப்பான எதிர்மறை தனித்த ஐகன் மதிப்புகள் கொண்ட நிலையான கணு
  3. cCenter with purely imaginary conjugate eigenvalues — முற்றிலும் கற்பனை இணை ஐகன் மதிப்புகள் கொண்ட மையம்
  4. dSaddle point with eigenvalues of opposite real signs — எதிர் மெய் குறிகள் கொண்ட ஐகன் மதிப்புகளுடன் சேணப் புள்ளி

Explanation

Zero eigenvalues: if A=0 (all zero), every point is equilibrium. If A has a zero eigenvalue with 1D null space: line of equilibria, other trajectories move parallel to it. The phase portrait is degenerate (not the generic case).

பூஜ்ஜிய ஈஜென் மதிப்புகள்: A=0 என்றால் (அனைத்தும் பூஜ்ஜியம்), ஒவ்வொரு புள்ளியும் சமநிலை. A க்கு 1D பூஜ்ய இடைவெளியுடன் பூஜ்ஜிய ஈஜென் மதிப்பு இருந்தால்: சமநிலையின் கோடு, பிற பாதைகள் அதற்கு இணையாக நகரும். கட்ட உருவப்படம் சீரழிந்தது (பொது வழக்கு அல்ல).

Q4Easy

The equilibrium x=0 of x'=Ax is asymptotically stable iff:

x'=Ax இன் சமநிலை x=0 என்பது அறிகுறியற்ற நிலையாக உள்ளது:

  1. adet(A) > 0 without conditions on the trace of matrix A — அணி A-ன் தடத்தின் மீதான நிபந்தனைகளின்றி det(A) > 0
  2. btr(A) = 0 and det(A) > 0 (purely imaginary eigenvalues) — tr(A) = 0 மற்றும் det(A) > 0 (முற்றிலும் கற்பனை ஐகன் மதிப்புகள்)
  3. cAll eigenvalues of A are strictly real and positive — A-ன் அனைத்து ஐகன் மதிப்புகளும் கண்டிப்பான மெய் மற்றும் நேர்மறையானவை
  4. dAll eigenvalues have strictly negative real parts: Re(λ_k) < 0 for all k — அனைத்து ஐகன் மதிப்புகளும் கண்டிப்பான எதிர்மறை மெய் பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன: Re(λ_k) < 0✓ Correct

Explanation

Stability theorem for linear systems: x=0 is (i) asymptotically stable iff all Re(lambda_k)<0; (ii) stable (Lyapunov) iff all Re(lambda_k)<=0 with purely imaginary eigenvalues having full eigenspaces; (iii) unstable if any Re(lambda_k)>0.

நேரியல் அமைப்புகளுக்கான நிலைப்புத் தேற்றம்: x=0 என்பது (i) அனைத்து Re(lambda_k) <0; (ii) நிலையான (Lyapunov) என்றால் அனைத்து Re(lambda_k) <=0 முழு ஐஜென்ஸ்பேஸ்கள் கொண்ட முற்றிலும் கற்பனையான ஈஜென் மதிப்புகள்; (iii) ஏதேனும் Re(lambda_k) >0 எனில் நிலையற்றது.

Q5Easy

The system x'=y, y'=-x has eigenvalues ±i. The phase portrait near (0,0) is:

x'=y, y'=-x அமைப்பு ±i ஐஜென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. (0,0) அருகிலுள்ள கட்ட உருவப்படம்:

  1. aCenter (closed concentric elliptic trajectories) — மையம் (மூடிய பொதுமைய நீள்வட்டப் பாதைகள்)✓ Correct
  2. bSaddle point with hyperbolic separating trajectories — ஹைப்பர்போலிக் பிரிக்கும் பாதைகளுடன் கூடிய சேணப் புள்ளி
  3. cUnstable spiral winding outward away from the origin — ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து வெளிப்புறமாக சுழலும் நிலையற்ற சுழல்
  4. dStable node with monotonic trajectories entering the origin — ஆதிப்புள்ளியில் நுழையும் ஒருமுகப் பாதைகளுடன் நிலையான கணு

Explanation

Purely imaginary eigenvalues ±i: no real part means neither growth nor decay. Trajectories are closed curves (ellipses for this particular system) encircling the origin. The center is Lyapunov stable but NOT asymptotically stable.

முற்றிலும் கற்பனையான eigenvalues ​​±i: எந்த உண்மையான பகுதியும் வளர்ச்சியோ அல்லது சிதைவுகளோ இல்லை. பாதைகள் மூடிய வளைவுகள் (இந்த குறிப்பிட்ட அமைப்பிற்கான நீள்வட்டங்கள்) தோற்றத்தைச் சுற்றி வருகின்றன. மையம் லியாபுனோவ் நிலையானது ஆனால் அறிகுறியற்ற நிலையாக இல்லை.

20 more questions on Systems of ODEs

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing