Banach Algebras and the Spectral Radius — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Banach Algebras and the Spectral Radius, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A Banach algebra is a Banach space A with an associative multiplication satisfying:

ஒரு பனாச் இயற்கணிதம் என்பது ஒரு பனாச் ஸ்பேஸ் A ஆகும், இது ஒரு துணைப் பெருக்கல் திருப்தி அளிக்கிறது:

  1. axy = yx always — xy = yx எப்போதும்
  2. b||xy|| = ||x|| ||y||
  3. c||xy|| <= ||x|| ||y|| for all x, y in A — ||xy|| <= ||x|| ||y|| A இல் உள்ள அனைத்து x, y க்கும்✓ Correct
  4. d||xy|| >= ||x|| ||y||

Explanation

Submultiplicativity is what makes multiplication continuous. A unital Banach algebra additionally has an identity e, usually normalised so that ||e|| = 1.

சப்மல்டிபிளிகட்டிவிட்டி என்பது பெருக்கத்தை தொடர்ச்சியாக ஆக்குகிறது. ஒரு யூனிட்டல் பனாச் இயற்கணிதம் கூடுதலாக ஒரு அடையாளத்தை கொண்டுள்ளது e, பொதுவாக இயல்பாக்கப்படுகிறது அதனால் ||e|| = 1.

Q2Easy

Which of the following is a Banach algebra under pointwise multiplication and the supremum norm?

பின்வருவனவற்றில் எது பாயிண்ட்டைஸ் பெருக்கல் மற்றும் உச்ச நெறிமுறையின் கீழ் உள்ள பனாச் இயற்கணிதம்?

  1. aThe polynomials on [0,1] — [0,1] இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
  2. bc_0 under convolution — c_0 convolution கீழ்
  3. cC(X) for a compact Hausdorff space X — C(X) ஒரு சிறிய Hausdorff ஸ்பேஸ் X க்கான✓ Correct
  4. dL^1(R) under pointwise product — L^1(R) பாயிண்ட்வைஸ் தயாரிப்பின் கீழ்

Explanation

C(X) is the model commutative unital Banach algebra, in fact a commutative C*-algebra. L^1(R) is a Banach algebra under CONVOLUTION, not pointwise product, and has no identity.

C(X) என்பது மாடல் கம்யூட்டேட்டிவ் யூனிட்டல் பனாச் இயற்கணிதம், உண்மையில் ஒரு பரிமாற்ற சி*-இயற்கணிதம். L^1(R) என்பது பான்ச் இயற்கணிதம், மாற்றத்தின் கீழ் உள்ளது, இது புள்ளிநிலை தயாரிப்பு அல்ல, எந்த அடையாளமும் இல்லை.

Q3Easy

For a Banach space X, the space B(X) of bounded operators under composition is:

ஒரு பனாச் ஸ்பேஸ் Xக்கு, கலவையின் கீழ் உள்ள கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஆபரேட்டர்களின் ஸ்பேஸ் B(X):

  1. aA unital Banach algebra, noncommutative when dim(X) >= 2 — ஒரு அலகுடைய பனாக் இயற்கணிதம், dim(X) >= 2 ஆக இருக்கும்போது பரிமாற்றமற்றது✓ Correct
  2. bA finite-dimensional division algebra satisfying Frobenius classification — ஃப்ரோபினியஸ் வகைப்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு முடிவுறு-பரிமாண பிரிவு இயற்கணிதம்
  3. cA commutative C*-algebra isomorphic to continuous functions on unit disk — அலகு வட்டு மீதான தொடர்ச்சியான சார்புகளுக்கு சமஉருவமுடைய ஒரு பரிமாறும் C*-இயற்கணிதம்
  4. dA simple Lie algebra whose center contains all bounded projection operators — அனைத்து வரம்புடைய திட்டமிடல் செயலிகளையும் மையமாகக் கொண்ட ஒரு எளிய லீ இயற்கணிதம்

Explanation

The identity operator is the unit and ||ST|| <= ||S|| ||T|| gives submultiplicativity. B(H) for a Hilbert space H is the prototypical C*-algebra.

அடையாள ஆபரேட்டர் அலகு மற்றும் ||ST|| <= ||எஸ்|| ||டி|| துணைப் பெருக்கத்தை அளிக்கிறது. ஒரு ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் H க்கான B(H) என்பது முன்மாதிரியான சி*-இயற்கணிதம் ஆகும்.

Q4Easy

An element x of a unital Banach algebra A is called regular (invertible) if:

ஒரு ஒற்றை பனாச் இயற்கணிதம் A இன் ஒரு உறுப்பு x வழக்கமான (தலைகீழானது) என அழைக்கப்படுகிறது:

  1. a||x|| = 1
  2. bx is nonzero — x என்பது பூஜ்ஜியமற்றது
  3. cThere exists y in A with xy = yx = e — xy = yx = e உடன் A இல் y உள்ளது✓ Correct
  4. dx commutes with everything — x எல்லாவற்றையும் கொண்டு பயணம் செய்கிறார்

Explanation

Elements that are not invertible are called singular. Unlike in a field, nonzero elements can easily be singular -- for instance any nonzero nilpotent element.

தலைகீழாக இல்லாத தனிமங்கள் ஒருமை எனப்படும். ஒரு புலத்தில் உள்ளதைப் போலல்லாமல், பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகள் எளிதாக ஒருமையில் இருக்கலாம் - உதாரணமாக எந்த பூஜ்ஜியமற்ற nilpotent உறுப்பு.

Q5Easy

In a unital Banach algebra, if ||x|| < 1 then e - x is invertible with inverse:

ஒரு யூனிட்டல் பனாச் இயற்கணிதத்தில், என்றால் ||x|| < 1 பின்னர் e - x தலைகீழாக மாற்ற முடியாதது:

  1. aThe convergent Neumann series e + x + x^2 + x^3 + ... with ||(e - x)^{-1}|| <= 1 / (1 - ||x||) — குவியும் நியூமன் தொடர் e + x + x^2 + x^3 + ..., இங்கு ||(e - x)^{-1}|| <= 1 / (1 - ||x||)✓ Correct
  2. bThe alternating Euler series e - x + x^2 - x^3 + ... with ||(e - x)^{-1}|| = 1 — மாறிவரும் ஆய்லர் தொடர் e - x + x^2 - x^3 + ..., இங்கு ||(e - x)^{-1}|| = 1
  3. cThe Taylor series of the exponential operator exp(x) converging uniformly — சீராக குவியும் அடுக்குக்குறி செயலி exp(x)-ன் டெய்லர் தொடர்
  4. dThe finite polynomial expansion e + x + (1/2)x^2 with bounded error term — வரம்புடைய பிழை உறுப்புடன் கூடிய முடிவுறு பல்லுறுப்புக் கோவை விரிவாக்கம் e + x + (1/2)x^2

Explanation

The series converges absolutely by submultiplicativity and completeness. This single fact drives most of the elementary theory, including openness of the invertible group.

இந்தத் தொடர் முற்றிலும் துணைப் பெருக்கம் மற்றும் முழுமையால் ஒன்றிணைகிறது. இந்த ஒற்றை உண்மை, தலைகீழான குழுவின் திறந்த தன்மை உட்பட பெரும்பாலான அடிப்படைக் கோட்பாட்டை இயக்குகிறது.

20 more questions on Banach Algebras and the Spectral Radius

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing