Q1Easy
The Completeness Axiom of ℝ states: every non-empty subset of ℝ that is bounded above has a:
ℝ இன் முழுமைத் தத்துவம் கூறுகிறது: மேலே வரம்புக்குட்பட்ட ℝ இன் ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத துணைக்குழுவும் உள்ளது:
- aMinimum element — குறைந்தபட்ச உறுப்பு
- bGreatest lower bound in ℚ — ℚ இல் மிகக் குறைந்த வரம்பு
- cLeast upper bound (supremum) in ℝ — ℝ இல் குறைந்த மேல் வரம்பு (உச்சம்).✓ Correct
- dMaximum element — அதிகபட்ச உறுப்பு
Explanation
The completeness axiom (least upper bound property): every non-empty S ⊆ ℝ bounded above has sup(S) ∈ ℝ. This distinguishes ℝ from ℚ (e.g., {x∈ℚ:x²<2} is bounded above in ℚ but has no supremum in ℚ).
முழுமை கோட்பாடு (குறைந்த மேல் வரம்பு சொத்து): மேலே வரம்பற்ற ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத S ⊆ ℝ sup(S) ∈ ℝ. இது ℚ இலிருந்து ℚ ஐ வேறுபடுத்துகிறது (எ.கா., {x∈ℚ:x²<2} மேலே ℚ இல் வரம்பிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் ℚ இல் உச்சநிலை இல்லை).
Q2Easy
The Archimedean property of ℝ states: for any x ∈ ℝ, there exists n ∈ ℕ such that:
ℝ இன் ஆர்க்கிமிடியன் சொத்து கூறுகிறது: எந்த x ∈ ℝ க்கும், n ∈ ℕ உள்ளது:
- an² > x
- bn < x
- cn > x✓ Correct
- dn = x
Explanation
Archimedean property: ∀x ∈ ℝ, ∃n ∈ ℕ with n > x. Equivalently, ℕ is unbounded above in ℝ. This rules out infinitely large real numbers.
ஆர்க்கிமிடியன் சொத்து: ∀x ∈ ℝ, ∃n ∈ ℕ உடன் n > x. அதற்கு இணையாக, ℕ ℝக்கு மேலே வரம்பற்றது. இது எண்ணற்ற பெரிய உண்மையான எண்களை ஒதுக்குகிறது.
Q3Easy
Between any two distinct real numbers a < b, there exists:
இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான எண்களுக்கு இடையில் a < b, உள்ளது:
- aA rational and an irrational number — ஒரு பகுத்தறிவு மற்றும் விகிதாசார எண்✓ Correct
- bNo rational number — பகுத்தறிவு எண் இல்லை
- cExactly one rational number — சரியாக ஒரு பகுத்தறிவு எண்
- dOnly irrational numbers — பகுத்தறிவற்ற எண்கள் மட்டுமே
Explanation
ℚ is dense in ℝ (between any two reals is a rational) and ℝ\ℚ is also dense in ℝ (between any two reals is an irrational). Both facts follow from the Archimedean property.
ℚ என்பது ℝ இல் அடர்த்தியானது (எந்த இரண்டு உண்மைகளுக்கு இடையில் ஒரு பகுத்தறிவு உள்ளது) மற்றும் ℝ\ℚ என்பது ℝ இல் அடர்த்தியானது (எந்த இரண்டு உண்மைகளுக்கும் இடையில் ஒரு பகுத்தறிவற்றது). இரண்டு உண்மைகளும் ஆர்க்கிமிடியன் சொத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன.
Q4Easy
For S = {1/n : n ∈ ℕ} = {1, 1/2, 1/3, ...}, inf(S) =
S = {1/n: n ∈ ℕ} = {1, 1/2 , 1/3 , ...}, inf(S) =
- a0✓ Correct
- bDoes not exist — இல்லை
- c1
- d1/2
Explanation
inf(S) = 0. The set S is bounded below by 0, and 0 is the greatest lower bound: for any ε > 0, there exists n with 1/n < ε (Archimedean). But 0 ∉ S.
inf(S) = 0. S என்பது 0 ஆல் கீழே வரம்பற்றது, மேலும் 0 என்பது மிகப் பெரிய கீழ் வரம்பு: எந்த ε > 0 க்கும், 1/n < ε (ஆர்க்கிமிடியன்) உடன் n உள்ளது. ஆனால் 0∉ எஸ்.
Q5Easy
The intersection of the nested intervals Iₙ = [0, 1/n] for n = 1, 2, 3, ... is:
n = 1, 2, 3, ... க்கான உள்ளமை இடைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு Iₙ = [0, 1/n]:
- a[0,1]
- b∅
- c{0}✓ Correct
- d(0,1)
Explanation
∩ₙ Iₙ = ∩ₙ [0, 1/n] = {0}. The closed nested intervals shrink to the single point 0. This illustrates the Nested Intervals Theorem for closed intervals.
∩ₙ Iₙ = ∩ₙ [0, 1/n] = {0}. மூடிய உள்ளமை இடைவெளிகள் ஒற்றை புள்ளியாக சுருங்குகிறது 0. இது மூடிய இடைவெளிகளுக்கான உள்ளமைந்த இடைவெளிகளின் தேற்றத்தை விளக்குகிறது.
20 more questions on Real Number System
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.