Canonical Forms — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Canonical Forms, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The Jordan normal form of a matrix has the eigenvalues on the diagonal and:

மேட்ரிக்ஸின் ஜோர்டான் இயல்பான வடிவம் மூலைவிட்டத்தில் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும்:

  1. a1s in subdiagonal entries — துணை மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளில் 1கள்
  2. b1s in some superdiagonal entries — சில மேல் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளில் 1கள்✓ Correct
  3. cThe characteristic polynomial entries — பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளீடுகள்
  4. dZeros everywhere else — மற்ற எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியங்கள்

Explanation

Jordan form J has eigenvalues on the main diagonal and 1s on the superdiagonal within each Jordan block. A Jordan block for eigenvalue λ of size k is a k×k matrix with λ on diagonal and 1s just above.

ஜோர்டான் வடிவமான J ஆனது ஒவ்வொரு ஜோர்டான் தொகுதிக்குள்ளும் பிரதான மூலைவிட்டத்தில் ஈஜென் மதிப்புகளையும், மேல் மூலைவிட்டத்தில் 1 வியையும் கொண்டுள்ளது. கே அளவு λ ஐஜென்மதிப்புக்கான ஜோர்டான் தொகுதி என்பது ஒரு k×k அணி ஆகும், இது மூலைவிட்டத்தில் λ மற்றும் 1s மேலே உள்ளது.

Q2Easy

The Jordan block J(λ,k) of size k for eigenvalue λ is:

eigenvalue λ க்கான ஜோர்டான் தொகுதி J(λ,k) அளவு கே:

  1. aThe k×k matrix with λ on diagonal and 0s elsewhere — மூலைவிட்டத்தில் λ மற்றும் பிற இடங்களில் 0s உடன் k×k அணி
  2. bλ times the k×k identity — λ மடங்கு k×k அடையாளம்
  3. cThe k×k matrix with λ on diagonal and 1s on superdiagonal — மூலைவிட்டத்தில் λ மற்றும் மேல் மூலைவிட்டத்தில் 1s உடன் k×k அணி✓ Correct
  4. dThe k×k zero matrix — k×k பூஜ்ஜிய அணி

Explanation

J(λ,k) = [[λ,1,0,...],[0,λ,1,...],[...],[0,...,λ]]. It satisfies (J(λ,k)−λI)ᵏ = 0 but (J(λ,k)−λI)^{k-1} ≠ 0.

J(λ,k) = [[λ,1,0,...],[0,λ,1,...],[...],[0,...,λ]]. இது ( J(λ,k) −λI)ᵏ = 0 ஆனால் ( J(λ,k) −λI)^{k-1} ≠ 0 ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது.

Q3Easy

A matrix is diagonalizable iff all its Jordan blocks have size:

ஒரு மேட்ரிக்ஸ் அதன் அனைத்து ஜோர்டான் தொகுதிகளும் அளவைக் கொண்டிருந்தால் குறுக்காக மாற்றக்கூடியது:

  1. aEqual to the trace — சுவடுக்கு சமம்
  2. b1 (1×1 blocks) — 1 (1×1 தொகுதிகள்)✓ Correct
  3. cn
  4. dGreater than 1 — 1 ஐ விட பெரியது

Explanation

Jordan blocks of size 1 are just scalars on the diagonal. If all blocks are 1×1, J = D is diagonal. A matrix is diagonalizable iff each eigenvalue has geometric mult. = algebraic mult. iff all Jordan blocks are 1×1.

1 அளவுள்ள ஜோர்டான் தொகுதிகள் மூலைவிட்டத்தில் உள்ள ஸ்கேலர்கள் மட்டுமே. அனைத்து தொகுதிகளும் 1×1 எனில், J = D என்பது மூலைவிட்டமானது. ஒவ்வொரு eigenvalue வடிவியல் மல்ட் இருந்தால் ஒரு அணி மூலைவிட்டமானது. = இயற்கணிதம் பல. அனைத்து ஜோர்டான் தொகுதிகளும் 1×1 ஆகும்.

Q4Easy

The rational canonical form (Frobenius form) of a matrix is determined by its:

மேட்ரிக்ஸின் பகுத்தறிவு நியதி வடிவம் (Frobenius வடிவம்) அதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

  1. aEigenvalues and eigenvectors alone — ஐகன் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகன் வெக்டர்கள் மட்டுமே
  2. bInvariant factors d₁ | d₂ | ... | dₖ — மாறாத காரணிகள் d₁ | d₂ | ... | dₖ✓ Correct
  3. cTrace and determinant alone — ட்ரேஸ் மற்றும் அணிக்கோவை மட்டுமே
  4. dSingular values and rank alone — தனித்துவ மதிப்புகள் மற்றும் தரம் மட்டுமே

Explanation

The rational canonical form is determined by the invariant factors d₁|d₂|...|dₖ of the characteristic matrix (λI−A). This works over any field, unlike Jordan form which requires the field to contain all eigenvalues.

பகுத்தறிவு நியதி வடிவம் d₁|d₂|...|dₖ பண்பு மேட்ரிக்ஸின் (λI−A) மாறாத காரணிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது ஜோர்டான் படிவத்தைப் போலல்லாமல், எந்தத் துறையிலும் வேலை செய்யும், புலத்தில் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் இருக்க வேண்டும்.

Q5Easy

If the minimal polynomial of A is (λ−2)³, then the largest Jordan block for eigenvalue 2 has size:

A இன் குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை (λ−2)³ என்றால், eigenvalue 2க்கான மிகப்பெரிய ஜோர்டான் தொகுதி அளவு உள்ளது:

  1. a1
  2. bDepends on the matrix — மேட்ரிக்ஸைப் பொறுத்தது
  3. c3✓ Correct
  4. d2

Explanation

The exponent in the minimal polynomial equals the size of the largest Jordan block for that eigenvalue. Min poly (λ−2)³ means the largest Jordan block for λ=2 is 3×3.

குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவையில் உள்ள அடுக்கு, அந்த ஈஜென் மதிப்புக்கான மிகப்பெரிய ஜோர்டான் தொகுதியின் அளவிற்கு சமம். மின் பாலி (λ−2)³ என்பது λ=2க்கான மிகப்பெரிய ஜோர்டான் தொகுதி 3×3 ஆகும்.

20 more questions on Canonical Forms

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing