Q1Easy
An eigenvector of a matrix A corresponding to eigenvalue λ satisfies:
eigenvalue λ உடன் தொடர்புடைய அணி A இன் ஈஜென்வெக்டர் திருப்தி அளிக்கிறது:
- aAv = 0
- bAv = v
- cAv = λv (v ≠ 0)✓ Correct
- dAᵀv = λv only — Aᵀv = λv மட்டும்
Explanation
Av = λv with v ≠ 0. The zero vector is never an eigenvector by definition. λ is the eigenvalue (scalar) and v is the corresponding eigenvector.
Av = λv உடன் v ≠ 0. பூஜ்ஜிய திசையன் வரையறையின்படி ஒரு ஈஜென்வெக்டராக இருக்காது. λ என்பது eigenvalue (ஸ்கேலார்) மற்றும் v என்பது தொடர்புடைய ஈஜென்வெக்டார்.
Q2Easy
The eigenvalues of A are the roots of:
A இன் eigenvalues இதன் வேர்கள்:
- adet(A − I) = 0
- btr(A) = 0
- cdet(λI − A) = 0✓ Correct
- ddet(A) = 0
Explanation
det(λI − A) = 0 is the characteristic equation. The polynomial p(λ) = det(λI − A) is the characteristic polynomial of A.
det(λI − A) = 0 என்பது சிறப்பியல்பு சமன்பாடு. p(λ) = det(λI − A) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை A இன் பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.
Q3Easy
The eigenvalues of a triangular (upper or lower) matrix are:
ஒரு முக்கோண (மேல் அல்லது கீழ்) மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென் மதிப்புகள்:
- aAll equal to 1 — அனைத்தும் 1க்கு சமம்
- bIts diagonal entries — அதன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள்✓ Correct
- cAll zero — அனைத்தும் பூஜ்யம்
- dSquare roots of its diagonal entries — அதன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகளின் சதுர வேர்கள்
Explanation
For a triangular matrix, det(λI − A) = ∏(λ − aᵢᵢ), so eigenvalues are exactly the diagonal entries. This simplifies finding eigenvalues of triangular matrices greatly.
ஒரு முக்கோண அணிக்கு, det(λI − A) = ∏(λ − aᵢᵢ), எனவே eigenvalues சரியாக மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள் ஆகும். இது முக்கோண மெட்ரிக்குகளின் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது.
Q4Easy
The sum of eigenvalues of an n×n matrix A equals:
n×n அணி A இன் ஈஜென் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை சமம்:
- atr(A)✓ Correct
- bn
- crank(A)
- ddet(A)
Explanation
From the characteristic polynomial: p(λ) = λⁿ − tr(A)λⁿ⁻¹ + ... + (−1)ⁿdet(A). The sum of roots (eigenvalues) = tr(A), and the product of roots = (−1)ⁿ·(−1)ⁿdet(A) = det(A).
பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து: p(λ) = λⁿ - tr(A) λⁿ⁻¹ + ... + (−1)ⁿ det(A) . வேர்களின் கூட்டுத்தொகை (eigenvalues) = tr(A) , மற்றும் வேர்களின் பலன் = (−1)ⁿ·(−1)ⁿ det(A) = det(A) .
Q5Easy
The eigenspace E_λ corresponding to eigenvalue λ of matrix A is:
மேட்ரிக்ஸ் A இன் eigenvalue λ உடன் தொடர்புடைய ஈஜென்ஸ்பேஸ் E_λ:
- aIm(A − λI)
- bThe column space of A — A இன் நெடுவரிசை இடம்
- cker(A − λI)✓ Correct
- dThe row space of A — A இன் வரிசை இடம்
Explanation
E_λ = ker(A − λI) = {v : Av = λv} = null space of (A − λI). Its dimension (geometric multiplicity) ≥ 1 whenever λ is an eigenvalue.
E_λ = ker(A − λI) = {v : Av = λv} = (A - λI) இன் பூஜ்ய இடம். அதன் பரிமாணம் (வடிவியல் பெருக்கல்) ≥1 λ ஒரு ஈஜென் மதிப்பு ஆகும்.
20 more questions on Eigenvalues and Eigenvectors
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.