Q1Easy
The Riemann integral ∫ₐᵇ f(x)dx is defined as a limit of:
ரீமான் இன்டெக்ரல் ∫ₐᵇ f(x) dx ஆனது வரம்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது:
- aRiemann sums Σf(xᵢ*)Δxᵢ as mesh → 0 — ரீமான் Σ f(xᵢ*) Δxᵢ ஐ மெஷ் → 0 ஆகத் தொகுக்கிறார்✓ Correct
- bFourier series — ஃபோரியர் தொடர்
- cPartial sums of f — எஃப் இன் பகுதித் தொகைகள்
- dTaylor polynomials — டெய்லர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
Explanation
A Riemann sum for a partition P = {a=x₀<x₁<...<xₙ=b} with sample points xᵢ* ∈ [xᵢ₋₁,xᵢ] is Σf(xᵢ*)Δxᵢ. The Riemann integral is the limit as ‖P‖ (mesh/norm) → 0.
ஒரு பகிர்வுக்கான ரீமான் தொகை P = {a=x₀<x₁<...<xₙ=b} மாதிரி புள்ளிகளுடன் xᵢ* ∈ [xᵢ₋₁,xᵢ] Σ f(xᵢ*) Δxᵢ. ரீமான் இன்டீக்ரல் என்பது ‖P‖ (மெஷ்/நெறி) → 0 என வரம்பு.
Q2Easy
A bounded function f on [a,b] is Riemann integrable if and only if:
[a,b] இல் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட சார்பு ரீமான் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது என்றால் மட்டுமே:
- aThe function f is continuous everywhere on [a,b] — சார்பு f ஆனது [a,b] இல் எங்கும் தொடர்ச்சியானது
- bThe set of discontinuities of f is uncountable — f இன் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளிகளின் கணம் கணக்கிட முடியாதது
- cThe function f is differentiable on (a,b) — சார்பு f ஆனது (a,b) இல் வகையிடத்தக்கது
- dThe upper and lower Darboux integrals are equal — மேல் மற்றும் கீழ் டார்பாக்ஸ் தொகையீடுகள் சமம்✓ Correct
Explanation
f is Riemann integrable iff U(f,P) − L(f,P) < ε for some partition P (Riemann's criterion). Equivalently, the set of discontinuities of f has measure zero (Lebesgue's criterion).
f என்பது ரீமான் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது iff U(f,P) - L(f,P) < ε சில பகிர்வு P (Riemann's criterion). சமமாக, f இன் இடைநிறுத்தங்களின் தொகுப்பு பூஜ்ஜிய அளவைக் கொண்டுள்ளது (லெபெஸ்குவின் அளவுகோல்).
Q3Easy
The Fundamental Theorem of Calculus, Part I: if f is continuous on [a,b] and F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt, then:
கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றம், பகுதி I: f ஆனது [a,b] மற்றும் F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt இல் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், பின்:
- aF is not differentiable — எஃப் வேறுபடுத்த முடியாது
- bF is a constant — F என்பது மாறிலி
- cF'(x) = f(x) for all x ∈ [a,b] — F'(x) = f(x) அனைத்து x ∈ [a,b]✓ Correct
- dF(x) = f(x) + C
Explanation
FTC I: the function F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt is differentiable with F'(x) = f(x). This shows every continuous function has an antiderivative (the function F).
FTC I: செயல்பாடு F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ஆனது F'(x) = f(x) உடன் வேறுபடுகிறது. இது ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கும் ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் (செயல்பாடு F) இருப்பதைக் காட்டுகிறது.
Q4Easy
FTC Part II: if F is an antiderivative of f on [a,b], then ∫ₐᵇ f(x)dx =
FTC பகுதி II: F என்பது [a,b] இல் உள்ள f இன் எதிர்ப்பொருளாக இருந்தால், ∫ₐᵇ f(x) dx =
- aF'(b) − F'(a) — F'(b) - F'(a)
- bF(a) − F(b) — F(a) - F(b)
- cF(b) − F(a) — F(b) - F(a)✓ Correct
- dF(b) + F(a)
Explanation
FTC II: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) where F'=f. Notation: [F(x)]ₐᵇ = F(b)−F(a). This is the central theorem connecting differentiation and integration.
FTC II: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a) இங்கு F'=f. குறிப்பு: [ F(a)0 ]ₐᵇ = F(a)1 − F(a)2 . இது வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பை இணைக்கும் மைய தேற்றம்.
Q5Easy
∫ₐᵇ [f(x) + g(x)]dx =
∫ₐᵇ [ f(x) + g(x) ]dx =
- a∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ₐᵇ g(x)dx — ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx✓ Correct
- b∫ₐᵇ f(x)dx · ∫ₐᵇ g(x)dx — ∫ₐᵇ f(x) dx · ∫ₐᵇ g(x) dx
- c∫₂ₐ²ᵇ f(x)dx — ∫₂ₐ²ᵇ f(x) dx
- d∫ₐᵇ f(g(x))dx — ∫ₐᵇ f(g(x) )dx
Explanation
Linearity of integration: ∫(f+g) = ∫f + ∫g and ∫cf = c∫f. The Riemann integral is a linear functional on the space of integrable functions.
ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல்: ∫(f+g) = ∫f + ∫g மற்றும் ∫cf = c∫f. ரீமான் ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடுகளின் இடைவெளியில் ஒரு நேரியல் செயல்பாடு ஆகும்.
20 more questions on Riemann Integration
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.