Curvature Torsion and Intrinsic Equations — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Curvature Torsion and Intrinsic Equations, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The intrinsic (natural) equations of a space curve are:

விண்வெளி வளைவின் உள்ளார்ந்த (இயற்கை) சமன்பாடுகள்:

  1. ax = x(u) and y = y(v) (Cartesian coordinate functions of two parameters) — x = x(u) மற்றும் y = y(v) (இரண்டு அளவுருக்களின் கார்டீசியன் ஆய சார்புகள்)
  2. br = r(t) and v = v(t) (position and velocity as functions of time) — r = r(t) மற்றும் v = v(t) (நேரத்தின் சார்புகளாக நிலை மற்றும் திசைவேகம்)
  3. ctheta = theta(s) and phi = phi(s) (spherical polar angular coordinates) — theta = theta(s) மற்றும் phi = phi(s) (கோள துருவ கோண ஆயங்கள்)
  4. dkappa = kappa(s) and tau = tau(s) (curvature and torsion as functions of arc length) — kappa = kappa(s) மற்றும் tau = tau(s) (வில்லின் நீளத்தின் சார்புகளாக வளைவு மற்றும் முறுக்கம்)✓ Correct

Explanation

They determine the curve completely up to position and orientation in space, and involve no reference to any coordinate system -- hence intrinsic.

அவை வளைவை முழுமையாக விண்வெளியில் நிலை மற்றும் நோக்குநிலை வரை தீர்மானிக்கின்றன, மேலும் எந்த ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பையும் குறிப்பிடுவதில்லை -- எனவே உள்ளார்ந்தவை.

Q2Easy

Curvature and torsion of a space curve are invariant under:

ஒரு ஸ்பேஸ் வளைவின் வளைவு மற்றும் முறுக்கு மாறாமல் இருக்கும்:

  1. aAll affine transformations — அனைத்து மாற்றங்களையும் இணைக்கிறது
  2. bRigid motions (rotations and translations) — திடமான இயக்கங்கள் (சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள்)✓ Correct
  3. cArbitrary scalings — தன்னிச்சையான அளவீடுகள்
  4. dProjections — கணிப்புகள்

Explanation

Under a uniform scaling by factor c, both kappa and tau scale by 1/c, so they are not scale invariant. Reflections reverse the sign of torsion.

காரணி c மூலம் சீரான அளவிடுதலின் கீழ், kappa மற்றும் tau இரண்டும் 1/c ஆல், அதனால் அவை அளவு மாறாதவை அல்ல. பிரதிபலிப்புகள் முறுக்கு அறிகுறியை மாற்றுகின்றன.

Q3Easy

If a space curve is uniformly scaled by a factor c > 0, its curvature becomes:

ஒரு ஸ்பேஸ் வளைவு c > 0 காரணி மூலம் ஒரே மாதிரியாக அளவிடப்பட்டால், அதன் வளைவு:

  1. akappa/c — கப்பா/சி✓ Correct
  2. bc kappa — சி கப்பா
  3. ckappa/c^2 — கப்பா/ c^2
  4. dkappa — கப்பா

Explanation

Doubling the size of a circle halves its curvature, consistent with kappa = 1/a. Torsion scales identically.

ஒரு வட்டத்தின் அளவை இரட்டிப்பாக்குவது அதன் வளைவை பாதியாக குறைக்கிறது, இது கப்பா = 1/a உடன் ஒத்துப்போகிறது. முறுக்கு செதில்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

Q4Easy

For a plane curve y = f(x), the curvature is given by:

ஒரு விமான வளைவு y = f(x) க்கு, வளைவு பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது:

  1. akappa = 1/y_doubleprime — கப்பா = 1/y_doubleprime
  2. bkappa = |y_doubleprime|
  3. ckappa = |y_doubleprime| / (1 + y_prime^2)^{3/2} — kappa = |y_doubleprime| / (1 + y_prime^2)^{3 /2}✓ Correct
  4. dkappa = y_prime — கப்பா = y_prime

Explanation

The denominator corrects for the fact that x is not arc length. At a point where the tangent is horizontal (y_prime = 0), curvature reduces to |y_doubleprime|.

x என்பது வில் நீளம் அல்ல என்பதை வகுத்தல் சரிசெய்கிறது. தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும் ஒரு கட்டத்தில் (y_prime = 0), வளைவு |y_doubleprime| ஆக குறைகிறது.

Q5Easy

For plane curves one can define a SIGNED curvature, whose sign indicates:

விமான வளைவுகளுக்கு ஒருவர் கையொப்பமிடப்பட்ட வளைவை வரையறுக்கலாம், அதன் அடையாளம் குறிக்கிறது:

  1. aWhether the arc length parameter is increasing or decreasing with time — வில்லின் நீள அளவுரு நேரத்துடன் அதிகரிக்கிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பது
  2. bWhether curve turns anticlockwise (positive) or clockwise (negative) relative to tangent — வளைவு தொடுகோட்டைப் பொறுத்து எதிரெதிர் கடிகார திசையிலா (நேர்மறை) அல்லது கடிகார திசையிலா (எதிர்மறை) திரும்புகிறது என்பது✓ Correct
  3. cWhether the curve is concave or convex relative to coordinate origin — ஆயத் தொடக்கப்புள்ளியைப் பொறுத்து வளைவு குழிவானதா அல்லது குவிந்ததா என்பது
  4. dWhether the curve intersects its asymptotes at finite coordinate points — வளைவு அதன் அணுகுமுறைக் கோடுகளை முடிவுறு ஆயப் புள்ளிகளில் வெட்டுகிறதா என்பது

Explanation

Signed curvature is available only for plane curves, where a consistent normal can be chosen by rotating the tangent by 90 degrees. Space curves have kappa >= 0 by convention.

கையொப்பமிடப்பட்ட வளைவு விமான வளைவுகளுக்கு மட்டுமே கிடைக்கும், அங்கு தொடுகோட்டை 90 டிகிரி மூலம் சுழற்றுவதன் மூலம் நிலையான இயல்பைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். விண்வெளி வளைவுகள் மாநாட்டின்படி கப்பா >= 0 ஐக் கொண்டிருக்கும்.

20 more questions on Curvature Torsion and Intrinsic Equations

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing