Q1Easy
A map T: V → W is a linear transformation if for all u, v ∈ V and scalar c:
வரைபடம் T: V → W என்பது u, v ∈ V மற்றும் ஸ்கேலார் c ஆகிய அனைத்திற்கும் நேர்கோட்டு மாற்றமாகும்:
- aT(u + v) = T(u) − T(v) — T(u + v) = T(u) - T(v)
- bT(u + v) = T(u) + T(v) and T(cu) = cT(u) — T(u + v) = T(u) + T(v) மற்றும் T(cu) = cT(u)✓ Correct
- cT(u) + T(v) = T(uv)
- dT(u + v) = T(u)·T(v) and T(cu) = c²T(u) — T(u + v) = T(u) · T(v) மற்றும் T(cu) = c² T(u)
Explanation
Linearity: (1) additivity T(u+v)=T(u)+T(v), and (2) homogeneity T(cu)=cT(u). These together give T(au+bv) = aT(u)+bT(v) for all scalars a,b.
நேரியல்: (1) சேர்க்கை T(u+v) = T(u) + T(v) , மற்றும் (2) ஒரே மாதிரியான T(cu) = cT(u) . இவை அனைத்தும் சேர்ந்து T(au+bv) = aT(u) + bT(v) அனைத்து ஸ்கேலர்களுக்கும் a,b.
Q2Easy
T: ℝ² → ℝ² defined by T(x,y) = (2x+y, x−3y) is a linear transformation. T(1,0) =
T: T(x,y) ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட ℝ² → ℝ² = (2x+y, x−3y) என்பது ஒரு நேரியல் மாற்றம். T(1,0) =
- a(0,1)
- b(1,−3) — (1,-3)
- c(3,−2)
- d(2,1)✓ Correct
Explanation
T(1,0) = (2·1+0, 1−3·0) = (2,1). For the standard basis vector e₁ = (1,0).
T(1,0) = (2·1+0, 1−3·0) = (2,1). நிலையான அடிப்படை வெக்டருக்கு e₁ = (1,0).
Q3Easy
T: V → W is injective (one-to-one) if and only if:
T: V → W என்பது ஊசி (ஒன்-டு-ஒன்) என்றால் மட்டும்:
- aIm(T) = W
- bdim(V) = dim(W)
- cker(T) = {0}✓ Correct
- dT is surjective — டி என்பது சர்ஜெக்டிவ்
Explanation
T is injective iff ker(T) = {0}. Proof: if T(v₁) = T(v₂) then T(v₁−v₂) = 0, so v₁−v₂ ∈ ker(T) = {0}, giving v₁ = v₂.
T என்பது ker(T) = {0} என்ற ஊசி. ஆதாரம்: T(v₁) = T(v₂) எனில் T(v₁−v₂) = 0, எனவே v₁−v₂ ∈ ker(T) = {0}, v₁ = v₂ ஐக் கொடுக்கிறது.
Q4Easy
The matrix of a linear transformation T: ℝⁿ → ℝᵐ with respect to standard bases has size:
ஒரு நேரியல் மாற்றத்தின் அணி T: ℝⁿ → ℝᵐ நிலையான தளங்களைப் பொறுத்து அளவு உள்ளது:
- am × m — மீ × மீ
- bn × n
- cn × m — n × மீ
- dm × n — மீ × என்✓ Correct
Explanation
The matrix [T] is m×n: m rows (dimension of codomain/range) and n columns (dimension of domain). The j-th column is T(eⱼ) expressed in the standard basis of ℝᵐ.
அணி [T] என்பது m×n: m வரிசைகள் (கோடோமைன்/வரம்பின் பரிமாணம்) மற்றும் n நெடுவரிசைகள் (டொமைனின் பரிமாணம்). j-வது நெடுவரிசை T(eⱼ) என்பது ℝᵐ இன் நிலையான அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
Q5Easy
If S: U→V and T: V→W are linear transformations, then T∘S: U→W is:
S: U→V மற்றும் T: V→W ஆகியவை நேரியல் உருமாற்றங்கள் என்றால், T∘S: U→W:
- aLinear with matrix [S][T] — அணி [S][T] உடன் நேரியல்
- bNot necessarily linear — நேரியல் அவசியம் இல்லை
- cLinear only if S is invertible — S என்பது தலைகீழாக இருந்தால் மட்டுமே நேரியல்
- dLinear with matrix [T][S] — அணி [T][S] உடன் நேரியல்✓ Correct
Explanation
The composition of linear maps is linear. The matrix of T∘S is the product [T]·[S] (T's matrix times S's matrix, in that order).
நேரியல் வரைபடங்களின் கலவை நேரியல் ஆகும். T∘S இன் அணி என்பது தயாரிப்பு [T]·[S] ஆகும் (T's matrix times S's matrix, அந்த வரிசையில்).
20 more questions on Linear Transformations
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.