Q1Easy
A transformation of phase space coordinates (q, p) to (Q, P) is called canonical if it:
கட்ட இட ஆயத்தொலைவுகளை (q, p) (Q, P) ஆக மாற்றுவது நியதி என்று அழைக்கப்படுகிறது:
- aTransforms coordinates independently of momenta — மொமெண்டாவிலிருந்து சுயாதீனமாக ஆயங்களை மாற்றுகிறது
- bPreserves the explicit form of the Lagrangian — லாக்ராஞ்சியனின் வெளிப்படையான வடிவத்தைப் பாதுகாக்கிறது
- cLeaves the velocities q_dot unchanged — q_dot வேகங்களை மாறாமல் விட்டுவிடும்
- dPreserves the canonical form of Hamilton equations of motion — இயக்கத்தின் ஹாமில்டன் சமன்பாடுகளின் நியமன வடிவத்தைப் பாதுகாக்கிறது✓ Correct
Explanation
A canonical transformation transforms phase space (q, p) to (Q, P) while guaranteeing that the new equations of motion remain Hamiltonian: Q_dot = partial K/partial P and P_dot = -partial K/partial Q for some new Hamiltonian K.
புதிய இயக்க சமன்பாடுகள் ஹாமில்டோனியமாகவே இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கும் அதே வேளையில், கேனானிகல் உருமாற்றமானது கட்ட இடத்தை (q, p) (Q, P) ஆக மாற்றுகிறது: சில புதிய ஹாமில்டோனியன் K க்கு Q_dot = பகுதி K/பகுதி P மற்றும் P_dot = -partial K/partial Q.
Q2Easy
The condition for a transformation (q, p) to (Q, P) to be canonical is that p_i q_dot_i - H and P_i Q_dot_i - K differ by:
(q, p) இருந்து (Q, P) வரை மாற்றத்திற்கான நிபந்தனை p_i q_dot_i - H மற்றும் P_i Q_dot_i - K ஆகியவை வேறுபடுகின்றன:
- aThe total time derivative of an arbitrary generating function dF/dt — தன்னிச்சையான உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் மொத்த நேர வழித்தோன்றல் dF/dt✓ Correct
- bThe difference of kinetic and potential energies — இயக்கவியல் மற்றும் சாத்தியமான ஆற்றல்களின் வேறுபாடு
- cZero, meaning both expressions must be strictly identical — பூஜ்யம், அதாவது இரண்டு வெளிப்பாடுகளும் கண்டிப்பாக ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும்
- dA constant independent of coordinates and time — ஆய மற்றும் நேரத்திலிருந்து ஒரு நிலையான சுதந்திரம்
Explanation
The modified Hamilton principle requires delta integral (p_i dq_i - H dt) = 0 and delta integral (P_i dQ_i - K dt) = 0. Their integrands can differ by the exact differential of a generating function dF, leaving the variation zero.
மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஹாமில்டன் கொள்கைக்கு டெல்டா இன்டெக்ரல் (p_i dq_i - H dt) = 0 மற்றும் டெல்டா இன்டெக்ரல் (P_i dQ_i - K dt) = 0. அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகள் dF உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் சரியான வேறுபாட்டால் வேறுபடலாம், மாறுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.
Q3Easy
For a generating function of the first kind F_1(q, Q, t), the transformation equations for old and new momenta are:
முதல் வகை F_1(q, Q, t) ஐ உருவாக்கும் செயல்பாட்டிற்கு, பழைய மற்றும் புதிய தருணத்திற்கான உருமாற்ற சமன்பாடுகள்:
- ap_i = partial F_1/partial q_i and P_i = -partial F_1/partial Q_i — p_i = பகுதி F_1/பகுதி q_i மற்றும் P_i = -பகுதி F_1/பகுதி Q_i✓ Correct
- bp_i = -partial F_1/partial q_i and P_i = partial F_1/partial Q_i — p_i = -பகுதி F_1/பகுதி q_i மற்றும் P_i = பகுதி F_1/பகுதி Q_i
- cp_i = partial F_1/partial q_i and P_i = partial F_1/partial Q_i — p_i = பகுதி F_1/பகுதி q_i மற்றும் P_i = பகுதி F_1/பகுதி Q_i
- dp_i = partial F_1/partial Q_i and P_i = -partial F_1/partial q_i — p_i = பகுதி F_1/பகுதி Q_i மற்றும் P_i = -partial F_1/partial q_i
Explanation
Expanding dF_1 = (partial F_1/partial q_i) dq_i + (partial F_1/partial Q_i) dQ_i + (partial F_1/partial t) dt and matching coefficients with p_i dq_i - P_i dQ_i gives p_i = partial F_1/partial q_i and P_i = -partial F_1/partial Q_i.
விரிவாக்கம் dF_1 = (பகுதி F_1/பகுதி q_i) dq_i + (பகுதி F_1/பகுதி Q_i) dQ_i + (பகுதி F_1/பகுதி t) dt மற்றும் p_i dq_i உடன் பொருந்தக்கூடிய குணகங்கள் - P_i dQ_i p_i = பகுதியளவு Fi_1 ஐ தருகிறது. F_1/பகுதி Q_i.
Q4Easy
A generating function of the second kind F_2(q, P, t) is related to F_1 by Legendre transformation and yields:
இரண்டாம் வகை F_2(q, P, t) இன் உருவாக்கும் செயல்பாடு, லெஜண்ட்ரே மாற்றம் மற்றும் விளைச்சல் மூலம் F_1 உடன் தொடர்புடையது:
- ap_i = partial F_2/partial q_i and Q_i = partial F_2/partial P_i — p_i = பகுதி F_2/பகுதி q_i மற்றும் Q_i = பகுதி F_2/பகுதி P_i✓ Correct
- bp_i = partial F_2/partial q_i and Q_i = -partial F_2/partial P_i — p_i = பகுதி F_2/பகுதி q_i மற்றும் Q_i = -partial F_2/partial P_i
- cp_i = -partial F_2/partial q_i and Q_i = partial F_2/partial P_i — p_i = -பகுதி F_2/பகுதி q_i மற்றும் Q_i = பகுதி F_2/பகுதி P_i
- dp_i = partial F_2/partial P_i and Q_i = partial F_2/partial q_i — p_i = பகுதி F_2/பகுதி P_i மற்றும் Q_i = பகுதி F_2/பகுதி q_i
Explanation
Taking F_2(q, P, t) = F_1 + P_i Q_i gives dF_2 = p_i dq_i + Q_i dP_i + (partial F_2/partial t) dt. Matching coefficients yields p_i = partial F_2/partial q_i and Q_i = partial F_2/partial P_i.
F_2(q, P, t) = F_1 + P_i Q_iஐ எடுத்துக் கொண்டால் dF_2 = p_i dq_i + Q_i dP_i + (பகுதி F_2/பகுதி t) dt கிடைக்கும். பொருந்தும் குணகங்கள் p_i = பகுதி F_2/பகுதி q_i மற்றும் Q_i = பகுதி F_2/பகுதி P_i.
Q5Easy
For a generating function of the third kind F_3(p, Q, t), the transformation relations are:
மூன்றாம் வகை F_3(p, Q, t) இன் உருவாக்கும் செயல்பாட்டிற்கு, உருமாற்ற உறவுகள்:
- aq_i = partial F_3/partial p_i and P_i = partial F_3/partial Q_i — q_i = பகுதி F_3/பகுதி p_i மற்றும் P_i = பகுதி F_3/பகுதி Q_i
- bq_i = partial F_3/partial p_i and P_i = -partial F_3/partial Q_i — q_i = பகுதி F_3/பகுதி p_i மற்றும் P_i = -பகுதி F_3/பகுதி Q_i
- cq_i = -partial F_3/partial p_i and P_i = -partial F_3/partial Q_i — q_i = -partial F_3/partial p_i மற்றும் P_i = -partial F_3/partial Q_i✓ Correct
- dq_i = -partial F_3/partial p_i and P_i = partial F_3/partial Q_i — q_i = -பகுதி F_3/பகுதி p_i மற்றும் P_i = பகுதி F_3/பகுதி Q_i
Explanation
Taking F_3(p, Q, t) = F_1 - p_i q_i leads to dF_3 = -q_i dp_i - P_i dQ_i + (partial F_3/partial t) dt, which gives q_i = -partial F_3/partial p_i and P_i = -partial F_3/partial Q_i.
F_3(p, Q, t) = F_1 - p_i q_i dF_3 = -q_i dp_i - P_i dQ_i + (பகுதி F_3/பகுதி t) dt க்கு வழிவகுக்கிறது, இது q_i = -partial F_3/partial p_i மற்றும் P_i = -partial Q F_3/பகுதியைக் கொடுக்கும்.
20 more questions on Canonical Transformations and Generating Functions
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.