Q1Easy
A function f: ℂ→ℂ is analytic (holomorphic) at z₀ if the complex derivative f'(z₀) exists. The complex derivative is:
சிக்கலான வழித்தோன்றல் f'(z₀) இருந்தால், f: ℂ→ℂ என்பது z₀ இல் பகுப்பாய்வு (ஹோலோமார்பிக்) ஆகும். சிக்கலான வழித்தோன்றல்:
- aThe partial derivatives ∂f/∂x and ∂f/∂y exist along coordinate axes — ஆய அச்சுக்களில் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் ∂f/∂x மற்றும் ∂f/∂y நிலவுகின்றன
- bThe gradient ∇f is continuous and non-vanishing at z₀ — z₀-ல் சாய்வு ∇f தொடர்ச்சியானது மற்றும் பூஜ்ஜியமற்றது
- clim_{h→0, h∈ℂ} [f(z₀+h) − f(z₀)]/h exists independently of direction — திசையைச் சாராமல் lim_{h→0, h∈ℂ} [f(z₀+h) − f(z₀)]/h எல்லை நிலவுகிறது✓ Correct
- dThe directional derivative along the real axis equals that along the imaginary axis — மெய் அச்சின் திசை வகைக்கெழு கற்பனை அச்சின் திசை வகைக்கெழுவிற்கு சமம்
Explanation
The complex derivative requires the limit lim_{h→0}[f(z₀+h)−f(z₀)]/h to exist for h approaching 0 from ANY direction in ℂ. This is a much stronger condition than real differentiability.
சிக்கலான வழித்தோன்றலுக்கு ℂ இல் உள்ள எந்த திசையிலிருந்தும் 0 ஐ நெருங்குவதற்கு lim_{h→0}[ f(z₀+h) − f(z₀) ]/h வரம்பு தேவைப்படுகிறது. இது உண்மையான வேறுபாட்டை விட மிகவும் வலுவான நிலை.
Q2Easy
The function f(z) = |z|² is differentiable at z = 0 but not elsewhere. This is an example of:
f(z) = |z|² சார்பு z = 0 இல் வேறுபடுகிறது ஆனால் வேறு எங்கும் இல்லை. இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு:
- aAn analytic function on ℂ\{0} — ℂ\{0} இல் ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு
- bAn entire function — ஒரு முழு செயல்பாடு
- cA function differentiable at a single point (not analytic anywhere) — ஒரு புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு (எங்கும் பகுப்பாய்வு இல்லை)✓ Correct
- dA meromorphic function — ஒரு மெரோமார்பிக் செயல்பாடு
Explanation
f(z)=|z|²=x²+y². Differentiable only at z=0 (can check via C-R equations: u=x²+y², v=0; uₓ=2x, vy=0: needs 2x=0; uᵧ=2y, vₓ=0: needs −2y=0. Both hold only at origin).
f(z) =|z|²=x²+y². z=0 இல் மட்டுமே வேறுபடும் (C-R சமன்பாடுகள் மூலம் சரிபார்க்கலாம்: u=x²+y², v=0; uₓ=2x, vy=0: தேவைகள் 2x=0; uᵧ=2y, vₓ=0: தேவைகள் −2y=0. இரண்டும் மூலத்தில் மட்டுமே இருக்கும்).
Q3Easy
A function that is analytic on the entire complex plane ℂ is called:
முழு சிக்கலான விமானம் ℂ மீது பகுப்பாய்வு செய்யும் ஒரு செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது:
- aUnivalent — ஒற்றுமையற்ற
- bMeromorphic — மெரோமார்பிக்
- cEntire — முழுதும்✓ Correct
- dHarmonic — ஹார்மோனிக்
Explanation
An entire function is analytic (holomorphic) everywhere on ℂ. Examples: polynomials, eˣ, sin z, cos z, eᵉᶻ. Liouville's theorem: a bounded entire function is constant.
ℂ இல் எல்லா இடங்களிலும் முழு செயல்பாடும் பகுப்பாய்வு (ஹோலோமார்பிக்) ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள்: பல்லுறுப்புக்கோவைகள், eˣ, sin z, cos z, eᵉᶻ. லியோவில்லின் தேற்றம்: ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட முழு செயல்பாடும் நிலையானது.
Q4Easy
A function f is analytic at z₀ iff it can be expanded as a convergent power series:
ஒரு சார்பு f என்பது z₀ IF இல் பகுப்பாய்வாக உள்ளது, இது ஒரு குவிந்த ஆற்றல் தொடராக விரிவாக்கப்படலாம்:
- af(z) = f(z₀) always — f(z) = f(z₀) எப்போதும்
- bf(z) = Σ aₙ/(z−z₀)ⁿ
- cf(z) = Σ aₙzⁿ only — f(z) = Σ aₙzⁿ மட்டும்
- df(z) = Σ aₙ(z−z₀)ⁿ valid in some disk |z−z₀| < r — f(z) = Σ aₙ(z−z₀)ⁿ சில வட்டில் செல்லுபடியாகும் |z−z₀| < ஆர்✓ Correct
Explanation
Analyticity ⟺ representable by a convergent power series locally. The Taylor series at z₀ is Σ f⁽ⁿ⁾(z₀)/n! (z−z₀)ⁿ. This equivalence makes analytic functions extremely rigid.
பகுப்பாய்வு ⟺ உள்நாட்டில் குவிந்த சக்தித் தொடரால் குறிப்பிடப்படுகிறது. z₀ இல் உள்ள டெய்லர் தொடர் Σ f⁽ⁿ⁾(z₀)/n! (z−z₀)ⁿ. இந்த சமன்பாடு பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளை மிகவும் கடினமானதாக ஆக்குகிறது.
Q5Easy
The zeros of a non-constant analytic function are:
நிலையான பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள்:
- aIsolated (no accumulation point in the domain) — தனிமைப்படுத்தப்பட்டது (டொமைனில் குவிப்பு புள்ளி இல்லை)✓ Correct
- bAt most finitely many — அதிகபட்சம் பல
- cCountably infinite always — எண்ணத்தக்க எல்லையற்ற எப்போதும்
- dDense in some region — சில பகுதிகளில் அடர்ந்திருக்கும்
Explanation
Isolation of zeros: if f is analytic and not identically 0, zeros of f are isolated. Equivalently, if f(zₙ)=0 for a sequence zₙ→z₀ in the domain, then f≡0 (identity theorem).
பூஜ்ஜியங்களின் தனிமைப்படுத்தல்: f என்பது பகுப்பாய்வு மற்றும் ஒரே மாதிரியாக 0 இல்லாவிட்டால், f இன் பூஜ்ஜியங்கள் தனிமைப்படுத்தப்படும். சமமாக, டொமைனில் zₙ→z₀ வரிசைக்கு f(zₙ) =0 எனில், f≡0 (அடையாள தேற்றம்).
20 more questions on Analytic Functions
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.