Separation Axioms — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Separation Axioms, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A topological space is T0 (Kolmogorov) if: for any two distinct points x,y, there exists an open set containing one but not the other. The Sierpinski space {0,1} with T = {empty, {1}, {0,1}} is:

ஒரு இடவியல் இடம் T0 (Kolmogorov) என்றால்: ஏதேனும் இரண்டு வேறுபட்ட புள்ளிகளுக்கு x,y, ஒரு திறந்த தொகுப்பு உள்ளது, ஆனால் மற்றொன்று இல்லை. சியர்பின்ஸ்கி ஸ்பேஸ் {0,1} உடன் T = {காலி, {1}, {0,1}}:

  1. aT0 but not T1 — T0 ஆனால் T1 அல்ல✓ Correct
  2. bT2 (Hausdorff) — T2 (ஹவுஸ்டோர்ஃப்)
  3. cT1 but not T2 — T1 ஆனால் T2 அல்ல
  4. dIndiscrete — தெளிவற்ற

Explanation

Sierpinski space: T0 since the open set {1} contains 1 but not 0. NOT T1: there is no open set containing 0 but not 1 ({0} is not open). So {1} is closed but {0} is not (its complement {1} is open, so {0} is closed; wait -- actually {0} is NOT open but IS closed: closed sets = complements of open = {1,{0,1},empty} comp = {0}, X, empty -- yes {0} is closed). So the space is T0, not T1.

சியர்பின்ஸ்கி இடம்: T0, ஏனெனில் {1} இல் 1 உள்ளது, ஆனால் 0 இல்லை. T1 இல்லை: 0 ஐக் கொண்ட திறந்த தொகுப்பு இல்லை ஆனால் 1 இல்லை ({0} திறக்கப்படவில்லை). எனவே {1} மூடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் {0} இல்லை (அதன் நிரப்பு {1} திறக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே {0} மூடப்பட்டுள்ளது; காத்திருங்கள் -- உண்மையில் {0} திறக்கப்படவில்லை ஆனால் மூடப்பட்டுள்ளது: மூடிய செட்கள் = திறந்தநிலையின் நிரப்புகள் = {1,{0,1},வெற்று} காம்ப் = {0}, X, காலியாக -- ஆம் {0} மூடப்பட்டுள்ளது). எனவே இடம் T0, T1 அல்ல.

Q2Easy

A T1 space has the property that every finite set is:

ஒரு T1 ஸ்பேஸ் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பையும் கொண்டுள்ளது:

  1. aEvery closed subset and disjoint point can be separated by open sets — ஒவ்வொரு மூடிய உட்கணமும் வெட்டாத புள்ளியும் திறந்த கணங்களால் பிரிக்கப்படலாம்
  2. bFor any distinct points x ≠ y, there exists an open set containing x but not y — தனித்த புள்ளிகள் x ≠ y-க்கு, x-ஐ உள்ளடக்கிய ஆனால் y-ஐ உள்ளடக்காத ஒரு திறந்த கணம் உள்ளது
  3. cFor any two distinct points x ≠ y, there exist disjoint open sets U and V with x∈U and y∈V — எந்த இரு தனித்த புள்ளிகள் x ≠ y-க்கும், x∈U, y∈V என வெட்டாத திறந்த கணங்கள் U, V நிலவுகின்றன✓ Correct
  4. dAny two disjoint closed sets can be separated by a continuous function — எந்த இரு வெட்டாத மூடிய கணங்களும் தொடர் சார்பால் பிரிக்கப்படலாம்

Explanation

T1: every singleton is closed => by finite union, every finite set is closed. Conversely, if every singleton is closed, for any y!=x the open set X\{y} contains x but not y (so the space is T1). The cofinite topology on infinite X is T1 but not T2.

T1: ஒவ்வொரு சிங்கிள்டனும் மூடப்பட்டுள்ளது => வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்றியத்தால், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பும் மூடப்பட்டுள்ளது. மாறாக, ஒவ்வொரு சிங்கிள்டனும் மூடப்பட்டிருந்தால், எந்த y!=x க்கும் திறந்திருக்கும் X\{y} x ஐக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் y இல்லை (எனவே இடைவெளி T1 ஆகும்). எல்லையற்ற X இல் உள்ள கோபினைட் டோபாலஜி T1 ஆனால் T2 அல்ல.

Q3Easy

In a Hausdorff (T2) space, limits of convergent nets (or sequences in first-countable spaces) are:

ஹவுஸ்டோர்ஃப் (T2) இடத்தில், ஒன்றிணைந்த வலைகளின் வரம்புகள் (அல்லது முதல் எண்ணக்கூடிய இடைவெளிகளில் உள்ள வரிசைகள்):

  1. aNot necessarily unique — தனிப்பட்ட அவசியம் இல்லை
  2. bRational — பகுத்தறிவு
  3. cAlways in a compact set — எப்போதும் ஒரு சிறிய தொகுப்பில்
  4. dUnique (limits are unique in Hausdorff spaces) — தனித்துவமானது (ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளில் வரம்புகள் தனிப்பட்டவை)✓ Correct

Explanation

Hausdorff => unique limits: if x_n -> x and x_n -> y with x!=y, separate x and y by disjoint opens U,V. Tail of sequence in U (from some N), tail in V (from some M), so tail in U intersect V = empty, contradiction. Converse: a first countable space with unique sequence limits is Hausdorff.

ஹவுஸ்டோர்ஃப் => தனித்துவமான வரம்புகள்: x!=y உடன் x_n -> x மற்றும் x_n -> y, x மற்றும் y ஐ பிரித்து U,V திறக்கும். U இல் வரிசையின் வால் (சில N இலிருந்து), V இல் வால் (சில M இலிருந்து), எனவே U இல் உள்ள வால் V = வெற்று, முரண். உரையாடல்: தனிப்பட்ட வரிசை வரம்புகளைக் கொண்ட முதல் கணக்கிடக்கூடிய இடம் ஹவுஸ்டோர்ஃப் ஆகும்.

Q4Easy

A space is regular (T3 when combined with T1) if: for any point x and closed set F not containing x, there exist:

ஒரு இடைவெளி வழக்கமானது (T1 உடன் இணைந்தால் T3) என்றால்: எந்தப் புள்ளி x மற்றும் மூடிய தொகுப்பு F இல் x இல்லை என்றால், உள்ளன:

  1. aA continuous function separating x from F — F இலிருந்து x ஐ பிரிக்கும் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு
  2. bAn open set containing both x and F — x மற்றும் F இரண்டையும் கொண்ட ஒரு திறந்த தொகுப்பு
  3. cDisjoint open sets U,V with x in U and F subset V — U மற்றும் F துணைக்குழு V இல் x உடன் U,V உடன் பிரிக்கப்பட்ட திறந்த தொகுப்புகள்✓ Correct
  4. dA countable cover — கணக்கிடக்கூடிய கவர்

Explanation

Regular = T1 + for any point and disjoint closed set, there are separating open sets. Regular is between Hausdorff and normal. Metric spaces are regular (balls of radius r/2 around x and F separate them). Regular + second countable => normal (by Urysohn lemma) => metrizable (Urysohn metrization).

வழக்கமான = T1 + எந்தப் புள்ளிக்கும் மற்றும் இணைந்த மூடிய தொகுப்புக்கும், பிரிக்கும் திறந்த செட்கள் உள்ளன. வழக்கமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் மற்றும் சாதாரண இடையே உள்ளது. மெட்ரிக் இடைவெளிகள் வழக்கமானவை (x மற்றும் F ஐச் சுற்றி r/2 ஆரம் கொண்ட பந்துகள் அவற்றைப் பிரிக்கின்றன). வழக்கமான + இரண்டாவது கணக்கிடக்கூடியது => இயல்பானது (யுரிசோன் லெம்மாவால்) => மெட்ரிசபிள் (யுரிசோன் மெட்ரிசேஷன்).

Q5Easy

A normal space is one where any two disjoint closed sets can be separated by disjoint open sets. Urysohn's lemma says in a normal (T4) space, there additionally exists:

ஒரு சாதாரண இடைவெளி என்பது, எந்த இரண்டு டிஸ்ஜயிண்ட் மூடிய செட்களையும் டிஸ்ஜயிண்ட் ஓபன் செட் மூலம் பிரிக்க முடியும். Urysohn's lemma ஒரு சாதாரண (T4) இடத்தில் கூறுகிறது, கூடுதலாக உள்ளது:

  1. aA homeomorphism between the sets — தொகுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம்
  2. bA metric — ஒரு மெட்ரிக்
  3. cA continuous function f: X -> [0,1] with f=0 on one closed set and f=1 on the other — ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f: X -> [0,1] ஒரு மூடிய தொகுப்பில் f=0 மற்றும் மற்றொன்றில் f=1✓ Correct
  4. dA partition of unity — ஒற்றுமையின் ஒரு பிரிவினை

Explanation

Urysohn lemma: normal space has "enough continuous functions" to separate closed sets. This is the key tool for normal spaces. Tietze extension theorem (follows from Urysohn): any continuous f: F -> R on a closed subset F of a normal space extends to F: X -> R.

Urysohn lemma: மூடிய செட்களை பிரிக்க சாதாரண இடம் "போதுமான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளை" கொண்டுள்ளது. இது சாதாரண இடைவெளிகளுக்கான முக்கிய கருவியாகும். டைட்ஸே நீட்டிப்புத் தேற்றம் (யுரிசோஹனில் இருந்து பின்தொடர்கிறது): ஒரு சாதாரண இடத்தின் மூடிய துணைத்தொகுப்பு F இல் ஏதேனும் தொடர்ச்சியான f: F -> R ஆனது F: X -> R வரை நீட்டிக்கப்படுகிறது.

20 more questions on Separation Axioms

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing