The Hahn-Banach Theorem and Its Consequences — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on The Hahn-Banach Theorem and Its Consequences, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The Hahn-Banach theorem (analytic form) guarantees that a linear functional defined on a subspace M of X, dominated by a sublinear functional p, extends to all of X:

ஹான்-பனாச் தேற்றம் (பகுப்பாய்வு வடிவம்) X இன் சப்ஸ்பேஸ் M இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு நேரியல் செயல்பாடு, சப்லீனியர் செயல்பாட்டு p ஆல் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, X அனைத்துக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது:

  1. aBounded extension F whose operator norm vanishes on the boundary of M — M-ன் எல்லையில் செயலி நெறிமுறை பூஜ்ஜியமாகும் வரம்புடைய நீட்டிப்பு F
  2. bStrictly unique extension F to all of X regardless of the geometry of p — p-ன் வடிவவியலைப் பொருட்படுத்தாமல் X முழுமைக்கும் கண்டிப்பாக தனித்துவமான நீட்டிப்பு F
  3. cExtension F to all of X while remaining dominated by sublinear functional p — துணைநேரியல் சார்பளவை p-ஆல் ஆதிக்கம் செலுத்தப்படும் நிலையில் X முழுமைக்கும் நீட்டிப்பு F✓ Correct
  4. dExtension F whose kernel is topologically dense in the ambient space X — சுற்றுப்புற வெளி X-ல் இடவியல் ரீதியாக அடர்த்தியான உட்கருவைக் கொண்ட நீட்டிப்பு F

Explanation

The extension preserves the domination f(x) <= p(x). Crucially, no completeness, closedness or separability hypotheses are needed -- Hahn-Banach is not a Baire category theorem.

நீட்டிப்பு f(x) <= p(x) இன் ஆதிக்கத்தைப் பாதுகாக்கிறது. முக்கியமாக, முழுமை, மூடல் அல்லது பிரிக்கக்கூடிய கருதுகோள்கள் தேவையில்லை -- ஹான்-பனாச் ஒரு பைர் வகை தேற்றம் அல்ல.

Q2Easy

In the normed space version of Hahn-Banach, a bounded functional f on a subspace M extends to F on X with:

ஹான்-பனாச்சின் நெறிப்படுத்தப்பட்ட ஸ்பேஸ் பதிப்பில், ஒரு துணைவெளி M இல் உள்ள ஒரு வரம்பிற்குட்பட்ட செயல்பாட்டு f ஆனது X இல் F வரை நீட்டிக்கப்படுகிறது:

  1. a||F||_{X*} = ||f||_{M*} (the operator norm of the functional is preserved) — ||F||_{X*} = ||f||_{M*} (சார்பளவையின் செயலி நெறிமுறை பாதுகாக்கப்படுகிறது)✓ Correct
  2. b||F||_{X*} = 1 regardless of the value of ||f||_{M*} — ||f||_{M*}-ன் மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் ||F||_{X*} = 1
  3. c||F||_{X*} < ||f||_{M*} (strict contraction of the functional norm) — ||F||_{X*} < ||f||_{M*} (சார்பளவை நெறிமுறையின் கடுமையான சுருக்கம்)
  4. d||F||_{X*} = 2 * ||f||_{M*} (dimensional doubling on the complement) — ||F||_{X*} = 2 * ||f||_{M*} (நிரப்பியில் பரிமாண இரட்டிப்பு)

Explanation

Apply the analytic form with p(x) = ||f||_{M*} ||x||. Norm-preserving extension is what makes the theorem so powerful.

p(x) = ||f||_{M*} ||x|| உடன் பகுப்பாய்வு படிவத்தைப் பயன்படுத்தவும். நியமத்தை பாதுகாக்கும் நீட்சியே தேற்றத்தை மிகவும் சக்தி வாய்ந்ததாக ஆக்குகிறது.

Q3Easy

The Hahn-Banach extension of a functional is:

ஒரு செயல்பாட்டின் ஹான்-பனாச் நீட்டிப்பு:

  1. aNever unique — எப்போதும் தனித்துவம் இல்லை
  2. bAlways unique — எப்போதும் தனித்துவமானது
  3. cGenerally NOT unique — பொதுவாக தனித்துவமானது அல்ல✓ Correct
  4. dUnique only in finite dimensions — வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணங்களில் மட்டுமே தனித்துவமானது

Explanation

Uniqueness holds when the dual space is strictly convex -- for instance in Hilbert spaces, where the extension by zero on the orthogonal complement is the unique norm-preserving one. In C[0,1] or l^1 extensions are typically far from unique.

இரட்டை இடைவெளி கண்டிப்பாக குவிந்திருக்கும் போது தனித்துவம் உள்ளது - உதாரணமாக ஹில்பர்ட் இடைவெளிகளில், ஆர்த்தோகனல் நிரப்பியில் பூஜ்ஜியத்தால் நீட்டிக்கப்படுவது தனித்துவமான விதிமுறை-பாதுகாப்பு ஆகும். C[0,1] அல்லது l^1 நீட்டிப்புகள் பொதுவாக தனித்தன்மையிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருக்கும்.

Q4Easy

A functional p on a real vector space is sublinear if:

ஒரு உண்மையான வெக்டார் இடத்தில் ஒரு செயல்பாட்டு p கீழ்நிலை

  1. ap(x + y) <= p(x) + p(y) and p(c x) = c p(x) for all c >= 0 (subadditive and positive homogeneous) — அனைத்து c >= 0-க்கும் p(x + y) <= p(x) + p(y) மற்றும் p(c x) = c p(x) (துணைக்கூட்டு மற்றும் நேர்மறை ஒரே மாதிரியானது)✓ Correct
  2. bp(x + y) = p(x) + p(y) and p(-x) = p(x) for all vector pairs — அனைத்து வெக்டர் ஜோடிகளுக்கும் p(x + y) = p(x) + p(y) மற்றும் p(-x) = p(x)
  3. cp(x + y)^2 <= p(x)^2 + p(y)^2 for all vectors in real space — மெய் வெளியில் உள்ள அனைத்து வெக்டர்களுக்கும் p(x + y)^2 <= p(x)^2 + p(y)^2
  4. dp(c x) = |c| p(x) and p(x) = 0 implies x = 0 identically — p(c x) = |c| p(x) மற்றும் p(x) = 0 என்பது x = 0 என்பதை முற்றொருமையாகக் குறிக்கிறது

Explanation

Subadditivity plus positive homogeneity. Every norm and every seminorm is sublinear, but a sublinear functional may take negative values and need not satisfy p(-x) = p(x).

துணைநிலை மற்றும் நேர்மறை ஒருமைப்பாடு. ஒவ்வொரு விதிமுறையும் ஒவ்வொரு செமினார்மும் சப்லைனியர் ஆகும், ஆனால் ஒரு சப்லைனியர் செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கலாம் மற்றும் p(-x) = p(x) ஐ திருப்திப்படுத்த தேவையில்லை.

Q5Easy

The proof of the Hahn-Banach theorem in the general (non-separable) case uses:

பொதுவான (பிரிக்க முடியாத) வழக்கில் ஹான்-பனாச் தேற்றத்தின் ஆதாரம் பயன்படுத்துகிறது:

  1. aBaire category theorem — Baire வகை தேற்றம்
  2. bThe open mapping theorem — திறந்த மேப்பிங் தேற்றம்
  3. cZorn lemma applied to the partially ordered set of extensions — பகுதியளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நீட்டிப்புகளின் தொகுப்பிற்கு Zorn lemma பயன்படுத்தப்பட்டது✓ Correct
  4. dCompactness of the unit ball — அலகு பந்தின் சுருக்கம்

Explanation

One extends one dimension at a time, then invokes Zorn lemma for a maximal extension, which must be defined on all of X. In the separable case a countable induction suffices.

ஒன்று ஒரு நேரத்தில் ஒரு பரிமாணத்தை விரிவுபடுத்துகிறது, பின்னர் ஒரு அதிகபட்ச நீட்டிப்புக்காக Zorn lemma ஐத் தூண்டுகிறது, இது X அனைத்திலும் வரையறுக்கப்பட வேண்டும். பிரிக்கக்கூடிய வழக்கில் கணக்கிடக்கூடிய தூண்டல் போதுமானது.

20 more questions on The Hahn-Banach Theorem and Its Consequences

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing