Continuous Linear Transformations and Dual Spaces — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Continuous Linear Transformations and Dual Spaces, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

For a linear transformation T between normed spaces, continuity is equivalent to:

நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகளுக்கிடையேயான T நேரியல் மாற்றத்திற்கு, தொடர்ச்சி இதற்குச் சமம்:

  1. aIsometry (preserving distances strictly between all vector pairs) — சமஅளவை (அனைத்து வெக்டர் ஜோடிகளுக்கும் இடையே தூரங்களை கண்டிப்பாகப் பாதுகாத்தல்)
  2. bSurjectivity (covering the entire codomain normed linear space) — மேற்கோர்த்தல் (முழு துணைக்கள நெறிப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் வெளியையும் உள்ளடக்கியது)
  3. cCompactness (carrying bounded subsets to relatively compact images) — கச்சிதத்தன்மை (வரம்புடைய உட்கணங்களை தொடர்புடைய கச்சிதமான படங்களுக்கு எடுத்துச் செல்வது)
  4. dBoundedness (there exists M >= 0 such that ||Tx|| <= M ||x|| for all x) — வரம்புடைமை (அனைத்து x-க்கும் ||Tx|| <= M ||x|| என்றவாறு M >= 0 உள்ளது)✓ Correct

Explanation

For linear maps continuity at a single point, continuity everywhere, uniform continuity and boundedness are all equivalent. This fails badly for nonlinear maps.

ஒரே புள்ளியில் உள்ள நேரியல் வரைபடங்களின் தொடர்ச்சி, எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சி, சீரான தொடர்ச்சி மற்றும் எல்லைக்கு சமமானவை. இது நேரியல் அல்லாத வரைபடங்களுக்கு மோசமாக தோல்வியடைகிறது.

Q2Easy

The operator norm of a bounded linear operator T is defined as:

வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் ஆபரேட்டர் T இன் ஆபரேட்டர் விதிமுறை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

  1. a||T|| = ||T(0)|| — ||டி|| = || T(0) ||
  2. b||T|| = inf{||Tx|| : ||x|| = 1} — ||டி|| = inf{||Tx|| : ||x|| = 1}
  3. c||T|| = sup{||Tx|| : x in X} — ||டி|| = sup{||Tx|| : x இல் X}
  4. d||T|| = sup{||Tx|| : ||x|| <= 1} — ||டி|| = sup{||Tx|| : ||x|| <= 1}✓ Correct

Explanation

Equivalently ||T|| = sup_{x nonzero} ||Tx||/||x||. Option d is wrong because the supremum over all x is infinite unless T = 0.

சமமாக ||T|| = sup_{x nonzero} ||Tx||/||x||. விருப்பம் d தவறானது, ஏனெனில் T = 0 வரை அனைத்து x க்கும் மேலானது எல்லையற்றது.

Q3Easy

The fundamental inequality satisfied by the operator norm is:

ஆபரேட்டர் விதிமுறையால் பூர்த்தி செய்யப்பட்ட அடிப்படை சமத்துவமின்மை:

  1. a||T|| <= ||Tx|| — ||டி|| <= ||Tx||
  2. b||Tx|| <= ||T|| ||x|| for every x — ||Tx|| <= ||டி|| ||x|| ஒவ்வொரு xக்கும்✓ Correct
  3. c||Tx|| = ||T|| ||x|| — ||Tx|| = ||டி|| ||x||
  4. d||Tx|| >= ||T|| ||x|| — ||Tx|| >= ||டி|| ||x||

Explanation

||T|| is by definition the smallest constant M for which ||Tx|| <= M||x|| holds for all x.

||டி|| வரையறையின்படி மிகச்சிறிய மாறிலி எம் ||Tx|| <= எம்||x|| அனைத்து x க்கும் உள்ளது.

Q4Easy

The space B(X,Y) of bounded linear operators from a normed space X to a normed space Y, under the operator norm, is a Banach space provided:

ஆபரேட்டர் நெறிமுறையின் கீழ், நெறிப்படுத்தப்பட்ட ஸ்பேஸ் X இலிருந்து நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடம் Y வரையிலான வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் ஆபரேட்டர்களின் ஸ்பேஸ் B(X,Y), ஒரு Banach இடம் வழங்கப்படுகிறது:

  1. aY is complete (no completeness assumption is required on domain space X) — Y முழுமையானது (சார்பக வெளி X மீது எந்த முழுமை அனுமானமும் தேவையில்லை)✓ Correct
  2. bBoth X and Y are simultaneously complete Banach spaces — X மற்றும் Y இரண்டும் ஒரே நேரத்தில் முழுமையான பனாக் வெளிகள்
  3. cX is complete and Y is strictly finite-dimensional Euclidean space — X முழுமையானது மற்றும் Y கண்டிப்பாக முடிவுறு-பரிமாண யூக்ளிடியன் வெளி
  4. dX is reflexive and Y satisfies the parallelogram law identically — X தற்சுட்டுத்தன்மை கொண்டது மற்றும் Y இணைகர விதியை முற்றொருமையாக பூர்த்தி செய்கிறது

Explanation

Completeness of the target Y is what makes a Cauchy sequence of operators converge pointwise to a limit operator; X need not be complete.

இலக்கு Y இன் முழுமையே ஆபரேட்டர்களின் Cauchy வரிசையை ஒரு வரம்பு ஆபரேட்டருக்கு புள்ளியாக மாற்றுகிறது; X முழுமையாக இருக்க வேண்டியதில்லை.

Q5Easy

A linear functional on a normed space X over K is a linear map from X into:

நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடத்தில் X மீது K மீது ஒரு நேரியல் செயல்பாடு X இலிருந்து ஒரு நேரியல் வரைபடமாகும்:

  1. aThe scalar field K — அளவிடல் புலம் கே✓ Correct
  2. bThe dual X* — இரட்டை X*
  3. cAny Banach space — ஏதேனும் பனாச் இடம்
  4. dX itself — X தானே

Explanation

Functionals are scalar valued. The set of bounded (continuous) linear functionals forms the dual space X*.

செயல்பாடுகள் அளவிடல் மதிப்பு. வரம்புக்குட்பட்ட (தொடர்ச்சியான) நேரியல் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு இரட்டை வெளி X* ஐ உருவாக்குகிறது.

20 more questions on Continuous Linear Transformations and Dual Spaces

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing