Q1Easy
A metric on a set X is a function d: X×X → ℝ satisfying all of the following EXCEPT:
X தொகுப்பில் உள்ள ஒரு மெட்ரிக் என்பது ஒரு சார்பு d: X×X → ℝ தவிர, பின்வருவனவற்றையும் திருப்திப்படுத்துகிறது:
- ad(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)
- bd(x,y) ≥ 0 and d(x,y) = 0 iff x = y — d(x,y) ≥ 0 மற்றும் d(x,y) = 0 iff x = y
- cd(x,y) = d(x,z)·d(z,y) — d(x,y) = d(x,z) · d(z,y)✓ Correct
- dd(x,y) = d(y,x)
Explanation
Metric axioms: (1) non-negativity and definiteness, (2) symmetry, (3) triangle inequality. Option d is NOT an axiom — it would make d a multiplicative function, not a metric.
மெட்ரிக் கோட்பாடுகள்: (1) எதிர்மறை மற்றும் உறுதியான தன்மை, (2) சமச்சீர், (3) முக்கோண சமத்துவமின்மை. விருப்பம் d என்பது ஒரு கோட்பாடு அல்ல - இது d ஐ ஒரு பெருக்கல் செயல்பாடாக மாற்றும், ஒரு மெட்ரிக் அல்ல.
Q2Easy
The discrete metric on X is d(x,y) = 0 if x=y, and d(x,y) = 1 if x≠y. Open balls in the discrete metric are:
X இல் உள்ள தனித்த மெட்ரிக் x=y என்றால் d(x,y) = 0, மற்றும் x≠y என்றால் d(x,y) = 1. தனித்துவமான மெட்ரிக்கில் திறந்த பந்துகள்:
- a{x} for all radii r > 0 — அனைத்து ஆரங்களுக்கும் (r > 0) {x}
- bThe empty set when r < 1 — r < 1 எனில் வெற்று கணம்
- c{x} when r ≤ 1, and X when r > 1 — r ≤ 1 எனில் {x}, மற்றும் r > 1 எனில் X✓ Correct
- dThe entire space X for all r > 0 — அனைத்து r > 0 க்கும் முழு வெளி X
Explanation
B(x,r) = {y : d(x,y) < r}. For r ≤ 1: B(x,r) = {x} (only x has d(x,x)=0 < r ≤ 1). For r > 1: B(x,r) = X (all y have d(x,y) ≤ 1 < r). In the discrete metric, every subset is open.
B(x,r) = {y : d(x,y) < r}. r ≤ 1க்கு: B(x,r) = {x} (x இல் மட்டும் d(x,x) =0 < r ≤ 1 உள்ளது). r > 1க்கு: B(x,r) = X (அனைத்து y க்கும் d(x,y) ≤ 1 < r உள்ளது). தனித்த மெட்ரிக்கில், ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் திறந்திருக்கும்.
Q3Easy
In a metric space, the union of any collection of open sets is:
ஒரு மெட்ரிக் இடத்தில், திறந்த தொகுப்புகளின் எந்தவொரு தொகுப்பின் ஒன்றியம்:
- aAlways a closed set — எப்போதும் ஒரு மூடிய கணம்
- bAlways dense in the whole space — எப்போதும் முழு வெளியிலும் அடர்த்தியானது
- cAlways a compact set — எப்போதும் ஒரு கச்சிதமான கணம்
- dAlways an open set — எப்போதும் ஒரு திறந்த கணம்✓ Correct
Explanation
The union of any (possibly uncountable) family of open sets is open. The intersection of finitely many open sets is open. For closed sets, it's the opposite: intersection of any family is closed, union of finite family is closed.
திறந்த தொகுப்புகளின் எந்த (ஒருவேளை கணக்கிட முடியாத) குடும்பத்தின் ஒன்றியம் திறந்திருக்கும். வரையறுக்கப்பட்ட பல திறந்த தொகுப்புகளின் சந்திப்பு திறந்திருக்கும். மூடிய தொகுப்புகளுக்கு, இது நேர்மாறானது: எந்த குடும்பத்தின் குறுக்குவெட்டு மூடப்பட்டுள்ளது, வரையறுக்கப்பட்ட குடும்பத்தின் ஒன்றியம் மூடப்பட்டுள்ளது.
Q4Easy
A metric space (X,d) is complete if:
ஒரு மெட்ரிக் இடம் (X,d) முடிந்தால்:
- aEvery open set is bounded — ஒவ்வொரு திறந்த தொகுப்பும் வரம்பிடப்பட்டுள்ளது
- bEvery Cauchy sequence converges in X — ஒவ்வொரு Cauchy வரிசையும் X இல் ஒன்றிணைகிறது✓ Correct
- cEvery sequence is bounded — ஒவ்வொரு வரிசையும் வரம்புக்குட்பட்டது
- dX is compact — எக்ஸ் கச்சிதமானது
Explanation
A metric space is complete iff every Cauchy sequence has a limit in X. Examples: ℝⁿ (complete), ℚ (not complete), C[0,1] with sup norm (complete), L²(ℝ) (complete).
ஒவ்வொரு Cauchy வரிசைக்கும் X இல் வரம்பு இருந்தால் ஒரு மெட்ரிக் இடம் முடிந்தது. எடுத்துக்காட்டுகள்: ℝⁿ (முழுமையானது), ℚ (முழுமையாக இல்லை), C[0,1] உடன் sup norm (முழுமை), L²(ℝ) (முழுமையானது).
Q5Easy
In a metric space, compactness is equivalent to:
மெட்ரிக் இடத்தில், கச்சிதமானது இதற்குச் சமம்:
- aBoundedness alone with no completeness required — முழுமை தேவையில்லாமல் வரம்புக்குட்பட்ட தன்மை மட்டுமே
- bSequential compactness (every sequence has a convergent subsequence) — வரிசைமுறை கச்சிதத்தன்மை (ஒவ்வொரு தொடரும் ஒரு குவியும் துணைத் தொடரைக் கொண்டுள்ளது)✓ Correct
- cCompleteness alone with no boundedness required — வரம்புக்குட்பட்ட தன்மை தேவையில்லாமல் முழுமை மட்டுமே
- dTotal boundedness without completeness — முழுமையற்ற முழுமையான வரம்புக்குட்பட்ட தன்மை
Explanation
In metric spaces, compact ⟺ sequentially compact (every sequence has a convergent subsequence) ⟺ complete and totally bounded. In general topological spaces, these notions can differ.
மெட்ரிக் இடைவெளிகளில், கச்சிதமான ⟺ வரிசையாக கச்சிதமானது (ஒவ்வொரு வரிசையும் ஒரு குவிந்த பின்தொடர் கொண்டது) ⟺ முழுமையானது மற்றும் முற்றிலும் வரம்பானது. பொதுவான இடவியல் இடைவெளிகளில், இந்த கருத்துக்கள் வேறுபடலாம்.
20 more questions on Metric Spaces
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.