Q1Easy
A function f has an isolated singularity at z_0. The singularity is removable if:
ஒரு சார்பு f ஆனது z_0 இல் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் ஒருமை நீக்கக்கூடியது:
- a|f(z)| → ∞ along every path approaching z₀ — z₀-ஐ அணுகும் ஒவ்வொரு பாதையிலும் |f(z)| → ∞
- bf'(z₀) fails to exist while f(z₀) is bounded — f(z₀) வரம்புடையதாக இருக்கும்போது f'(z₀) நிலவவில்லை
- clim_{z→z₀} f(z) exists and is a finite complex number — lim_{z→z₀} f(z) எல்லை நிலவுகிறது மற்றும் ஒரு முடிவுறு கலப்பு எண்ணாகும்✓ Correct
- df(z) has infinitely many negative-power Laurent terms — f(z) முடிவிலி எதிர்மறை அடுக்கு லாரன்ட் உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது
Explanation
Riemann removable singularity theorem: if lim_{z->z_0} f(z) exists (is finite), the singularity is removable. We can define f(z_0) = lim f to make f analytic at z_0.
ரீமான் நீக்கக்கூடிய ஒருமைத் தேற்றம்: lim_{z->z_0} f(z) இருந்தால் (வரையறுபட்டது), ஒருமை நீக்கக்கூடியது. z_0 இல் f பகுப்பாய்வு செய்ய f(z_0) = lim f ஐ வரையறுக்கலாம்.
Q2Easy
A pole of order m at z_0 means the Laurent series has principal part:
z_0 இல் வரிசை m என்ற துருவமானது லாரன்ட் தொடரின் முக்கிய பகுதியைக் கொண்டுள்ளது என்று பொருள்:
- aA single negative power term a_{−1}/(z−z₀) regardless of m — m-ஐப் பொருட்படுத்தாமல் ஒரே ஒரு எதிர்மறை அடுக்கு உறுப்பு a_{−1}/(z−z₀)
- bNo negative powers in the expansion (pure Taylor series) — விரிவாக்கத்தில் எதிர்மறை அடுக்குகள் இல்லை (தூய டெய்லர் தொடர்)
- cInfinitely many negative-power terms in the principal part — முதன்மையான பகுதியில் முடிவிலி எதிர்மறை அடுக்கு உறுப்புகள்
- dExactly m negative powers: a_{−m}/(z−z₀)^m + ... + a_{−1}/(z−z₀), a_{−m} ≠ 0 — சரியாக m எதிர்மறை அடுக்குகள்: a_{−m}/(z−z₀)^m + ... + a_{−1}/(z−z₀), a_{−m} ≠ 0✓ Correct
Explanation
A pole of order m: the Laurent principal part is a_{-m}/(z-z_0)^m + ... + a_{-1}/(z-z_0) with a_{-m} != 0. A simple pole has only a_{-1}/(z-z_0). At a pole of order m: |f(z)| -> infinity as z -> z_0.
ஆர்டரின் ஒரு துருவம்: லாரன்ட் முதன்மைப் பகுதி a_{-m}/(z-z_0)^m + ... + a_{-1}/(z-z_0) உடன் a_{-m} != 0. ஒரு எளிய துருவத்தில் a_{-1}/(z-z_0) மட்டுமே உள்ளது. ஆர்டர் துருவத்தில் மீ: | f(z) | -> z -> z_0 ஆக முடிவிலி.
Q3Easy
An essential singularity at z_0 is characterized by:
z_0 இல் இன்றியமையாத ஒருமை பின்வரும் அம்சங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது:
- aThe principal part terminates after finitely many terms — முதன்மைப் பகுதி முடிவுறு உறுப்புகளுக்குப் பிறகு முடிவடைகிறது
- blim_{z→z₀} f(z) = ∞ in the extended complex plane — நீட்டிக்கப்பட்ட கலப்பு தளத்தில் lim_{z→z₀} f(z) = ∞
- cf(z) remains uniformly bounded in a punctured neighborhood of z₀ — z₀-ன் துளையிடப்பட்ட அண்மையில் f(z) சீரான வரம்புடையதாக இருக்கும்
- dThe Laurent series contains infinitely many negative-power terms — லாரன்ட் தொடரில் முடிவிலி பல எதிர்மறை அடுக்கு உறுப்புகள் உள்ளன✓ Correct
Explanation
Essential singularity: infinitely many non-zero terms in the principal part (negative powers). Casorati-Weierstrass: near an essential singularity, f(z) comes arbitrarily close to every complex number. Picard's great theorem: f takes every value (with at most one exception) infinitely often near an essential singularity.
அத்தியாவசிய ஒருமை: முதன்மைப் பகுதியில் (எதிர்மறை சக்திகள்) எண்ணற்ற பல பூஜ்ஜியமற்ற சொற்கள். Casorati-Weierstrass: ஒரு அத்தியாவசிய ஒருமைப்பாட்டிற்கு அருகில், f(z) ஒவ்வொரு கலப்பு எண்ணுக்கும் தன்னிச்சையாக அருகில் வருகிறது. Picard இன் சிறந்த தேற்றம்: f ஒவ்வொரு மதிப்பையும் (அதிகபட்சம் ஒரு விதிவிலக்கு) எண்ணற்ற அளவில் அடிக்கடி ஒரு அத்தியாவசிய ஒருமைப்பாட்டிற்கு அருகில் எடுக்கும்.
Q4Easy
f(z) = sin(z)/z. At z=0, this has a singularity of type:
f(z) = sin(z) /z. z=0 இல், இது வகையின் ஒருமைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது:
- aSimple pole of order 1 with residue 1 — எச்சம் 1 கொண்ட வரிசை 1 எளிய துருவம்
- bRemovable singularity (since lim_{z→0} sin z / z = 1) — நீக்கக்கூடிய ஒருமை (lim_{z→0} sin z / z = 1 என்பதால்)✓ Correct
- cEssential singularity with infinite principal part — முடிவிலி முதன்மைப் பகுதி கொண்ட அத்தியாவசிய ஒருமை
- dBranch point singularity of logarithmic type — மடக்கை வகை கொண்ட கிளைப் புள்ளி ஒருமை
Explanation
sin(z)/z = (z - z^3/6 + ...)/z = 1 - z^2/6 + z^4/120 - ... No negative powers in Laurent series, so z=0 is a removable singularity. Defining f(0)=1 makes f entire.
sin(z) /z = (z - z^3 /6 + ...)/z = 1 - z^2 /6 + z^4 /120 - ... லாரன்ட் தொடரில் எதிர்மறை சக்திகள் இல்லை, எனவே z=0 என்பது நீக்கக்கூடிய ஒருமையாகும். f(0) =1ஐ வரையறுப்பது f ஐ முழுதாக ஆக்குகிறது.
Q5Easy
f(z) = 1/(z^2 - 1) = 1/((z-1)(z+1)). The order of the pole at z=1 is:
f(z) = 1/( z^2 - 1) = 1/((z-1)(z+1)). z=1 இல் உள்ள துருவத்தின் வரிசை:
- a1 (simple pole since lim_{z→1} (z−1) f(z) = 1/2 ≠ 0) — 1 (lim_{z→1} (z−1) f(z) = 1/2 ≠ 0 என்பதால் எளிய துருவம்)✓ Correct
- b3 (pole of order 3 from factored terms) — 3 (காரணிப்படுத்தப்பட்ட உறுப்புகளிலிருந்து வரிசை 3 துருவம்)
- c0 (removable singularity with finite limit) — 0 (முடிவுறு எல்லையுடன் நீக்கக்கூடிய ஒருமை)
- d2 (double pole from quadratic denominator z²−1) — 2 (இருபடிப் பகுதி z²−1-லிருந்து இரட்டைத் துருவம்)
Explanation
Near z=1: 1/((z-1)(z+1)) = 1/(z-1) * 1/(z+1). As z->1: 1/(z+1) -> 1/2 (analytic, nonzero). So the pole at z=1 is simple (order 1). Similarly z=-1 is a simple pole.
அருகில் z=1: 1/((z-1)(z+1)) = 1/(z-1) * 1/(z+1). z->1 என: 1/(z+1) -> 1/2 (பகுப்பாய்வு, பூஜ்ஜியமற்றது). எனவே z=1 இல் உள்ள துருவமானது எளிமையானது (வரிசை 1). இதேபோல் z=-1 என்பது ஒரு எளிய துருவமாகும்.
20 more questions on Singularities
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.