Q1Easy
The system Ax = b is consistent if and only if:
அமைப்பு Ax = b பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே சீரானது:
- adet(A) = 0
- brank(A) < rank(A|b)
- cb is orthogonal to the null space of Aᵀ only if b = 0 — b = 0 எனில் மட்டுமே b ஆனது Aᵀ இன் வெற்று வெளிக்கு செங்குத்தானது
- drank(A) = rank(A|b)✓ Correct
Explanation
By the Rouché-Capelli theorem, Ax = b is consistent iff rank(A) = rank(A|b), where (A|b) is the augmented matrix.
Rouché-Capelli தேற்றத்தின்படி, Ax = b என்பது rank(A) = rank(A|b), இதில் (A|b) என்பது ஆக்மென்டட் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்.
Q2Easy
A homogeneous system Ax = 0 always has:
ஒரே மாதிரியான அமைப்பு Ax = 0 எப்போதும் கொண்டுள்ளது:
- aOnly the trivial solution x = 0 — அற்பமான தீர்வு x = 0 மட்டுமே
- bNo solution — தீர்வு இல்லை
- cInfinitely many solutions — எண்ணற்ற தீர்வுகள்
- dAt least the trivial solution x = 0 — குறைந்தபட்சம் அற்பமான தீர்வு x = 0✓ Correct
Explanation
x = 0 is always a solution of Ax = 0 (the trivial solution). If det(A) ≠ 0, it is the unique solution. If det(A) = 0, there are infinitely many solutions.
x = 0 என்பது எப்பொழுதும் Ax = 0 (அற்பமான தீர்வு) இன் தீர்வாகும். det(A) ≠ 0 எனில், அதுவே தனித்துவமான தீர்வு. det(A) = 0 எனில், எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
Q3Easy
The system Ax = b has a unique solution when:
கணினி Ax = b ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் போது:
- aA is square and singular — A என்பது சதுரம் மற்றும் ஒருமை
- bb = 0
- cA is square and det(A) ≠ 0 — A என்பது சதுரம் மற்றும் det(A) ≠ 0✓ Correct
- dA has more rows than columns — A ஆனது நெடுவரிசைகளை விட அதிக வரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது
Explanation
When A is n×n and invertible (det ≠ 0), the unique solution is x = A⁻¹b. If det(A) = 0 there are either 0 or infinitely many solutions.
A என்பது n×n மற்றும் தலைகீழாக இருக்கும் போது (det ≠ 0), தனித்துவமான தீர்வு x = A⁻¹b ஆகும். det(A) = 0 என்றால் 0 அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
Q4Easy
Gaussian elimination reduces a matrix to:
காஸியன் நீக்கம் ஒரு மேட்ரிக்ஸைக் குறைக்கிறது:
- aRow echelon form — வரிசை எச்செலான் வடிவம்✓ Correct
- bDiagonal form — மூலைவிட்ட வடிவம்
- cIdentity matrix — அடையாள அணி
- dSymmetric form — சமச்சீர் வடிவம்
Explanation
Gaussian elimination applies elementary row operations to bring a matrix to row echelon form (upper triangular with leading 1s). Back-substitution then gives the solution.
காஸியன் எலிமினேஷன் என்பது ஒரு அணியை வரிசையின் எச்செலான் வடிவத்திற்கு (முன்னணி 1கள் கொண்ட மேல் முக்கோணம்) கொண்டு வர அடிப்படை வரிசை செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துகிறது. பின்-மாற்றீடு பின்னர் தீர்வை அளிக்கிறது.
Q5Easy
In solving Ax = b, if the system has n unknowns and rank(A) = r < n, the number of free variables is:
Ax = b ஐத் தீர்ப்பதில், கணினியில் n தெரியாதவை மற்றும் rank(A) = r < n இருந்தால், இலவச மாறிகளின் எண்ணிக்கை:
- an
- bn + r
- cr — ஆர்
- dn − r — n - ஆர்✓ Correct
Explanation
Each pivot variable corresponds to a leading 1 in RREF. The remaining n − r variables are free (can take any value), giving infinitely many solutions parameterized by n−r parameters.
ஒவ்வொரு பிவோட் மாறியும் RREF இல் முன்னணி 1 க்கு ஒத்திருக்கிறது. மீதமுள்ள n − r மாறிகள் இலவசம் (எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்), n−r அளவுருக்களால் அளவுருக்கள் கொண்ட எண்ணற்ற தீர்வுகளை அளிக்கிறது.
20 more questions on Systems of Linear Equations
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.