Lagrange and Poisson Brackets — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Lagrange and Poisson Brackets, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The Poisson bracket of two functions u(q, p) and v(q, p) on phase space is defined as:

ஃபேஸ் ஸ்பேஸில் u(q, p) மற்றும் v(q, p) ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகளின் பாய்சன் அடைப்புக்குறி பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

  1. asum_i ( (partial u/partial q_i)(partial v/partial q_i) - (partial u/partial p_i)(partial v/partial p_i) ) — sum_i ( (பகுதி u/பகுதி q_i)(பகுதி v/பகுதி q_i) - (பகுதி u/பகுதி p_i)(பகுதி v/பகுதி p_i) )
  2. bsum_i ( (partial u/partial p_i)(partial v/partial q_i) - (partial u/partial q_i)(partial v/partial p_i) ) — sum_i ( (பகுதி u/பகுதி p_i)(பகுதி v/பகுதி q_i) - (பகுதி u/பகுதி q_i)(பகுதி v/பகுதி p_i) )
  3. csum_i ( (partial u/partial q_i)(partial v/partial p_i) - (partial u/partial p_i)(partial v/partial q_i) ) — sum_i ( (பகுதி u/பகுதி q_i)(பகுதி v/பகுதி p_i) - (பகுதி u/பகுதி p_i)(பகுதி v/பகுதி q_i) )✓ Correct
  4. dsum_i ( (partial u/partial q_i)(partial v/partial p_i) + (partial u/partial p_i)(partial v/partial q_i) ) — sum_i ( (பகுதி u/பகுதி q_i)(பகுதி v/பகுதி p_i) + (பகுதி u/பகுதி p_i)(பகுதி v/பகுதி q_i) )

Explanation

By standard definition, {u, v} = sum_i ( (partial u/partial q_i)(partial v/partial p_i) - (partial u/partial p_i)(partial v/partial q_i) ). Note the minus sign and the pairing of q_i derivatives with p_i derivatives.

நிலையான வரையறையின்படி, {u, v} = sum_i ( (பகுதி u/பகுதி q_i)(பகுதி v/பகுதி p_i) - (பகுதி u/பகுதி p_i)(பகுதி v/பகுதி q_i) ). கழித்தல் குறி மற்றும் p_i வழித்தோன்றல்களுடன் q_i வழித்தோன்றல்களை இணைப்பதைக் கவனியுங்கள்.

Q2Easy

For any two phase space functions u and v, the anti-symmetry property of the Poisson bracket states that:

u மற்றும் v ஆகிய இரண்டு கட்ட இடைவெளி செயல்பாடுகளுக்கு, பாய்சன் அடைப்புக்குறியின் சமச்சீர் எதிர்ப்பு பண்பு பின்வருமாறு கூறுகிறது:

  1. a{u, v} = 0 for all functions — அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் {u, v} = 0
  2. b{u, v} = -{v, u}✓ Correct
  3. c{u, v} = 1/{v, u}
  4. d{u, v} = {v, u}

Explanation

Exchanging u and v in the definition flips the sign of every term in the sum: (partial v/partial q_i)(partial u/partial p_i) - (partial v/partial p_i)(partial u/partial q_i) = -{u, v}.

வரையறையில் u மற்றும் v ஐப் பரிமாற்றுவது, கூட்டுத்தொகையில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லின் அடையாளத்தையும் புரட்டுகிறது: (பகுதி v/பகுதி q_i)(பகுதி u/பகுதி p_i) - (பகுதி v/பகுதி p_i)(பகுதி u/பகுதி q_i) = -{u, v}.

Q3Easy

The Poisson bracket of any dynamical variable u with itself, {u, u}, is always equal to:

எந்த டைனமிக் மாறி u இன் பாய்சன் அடைப்புக்குறியானது, {u, u}, எப்போதும் சமமாக இருக்கும்:

  1. a1
  2. b0✓ Correct
  3. cu^2
  4. d2 u — 2 யூ

Explanation

From anti-symmetry {u, u} = -{u, u}, which immediately implies 2{u, u} = 0, so {u, u} = 0 for any phase space function u.

சமச்சீர் எதிர்ப்பு {u, u} = -{u, u}, இது உடனடியாக 2{u, u} = 0 ஐக் குறிக்கிறது, எனவே {u, u} = 0 எந்த நிலை இடைவெளி செயல்பாட்டிற்கும் u.

Q4Easy

The fundamental Poisson brackets for generalized coordinates q_j and conjugate momenta p_k are:

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயத்தொகுப்புகளான q_j மற்றும் கான்ஜுகேட் மொமெண்டா p_k க்கான அடிப்படை பாய்சன் அடைப்புக்குறிகள்:

  1. a{q_j, p_k} = 0, {q_j, q_k} = delta_jk, {p_j, p_k} = delta_jk — {q_j, p_k} = 0, {q_j, q_k} = delta_jk, {p_j, p_k} = டெல்டா_jk
  2. b{q_j, p_k} = -delta_jk, {q_j, q_k} = 0, {p_j, p_k} = 0
  3. c{q_j, p_k} = delta_jk, {q_j, q_k} = delta_jk, {p_j, p_k} = delta_jk — {q_j, p_k} = delta_jk, {q_j, q_k} = டெல்டா_jk, {p_j, p_k} = டெல்டா_jk
  4. d{q_j, p_k} = delta_jk, {q_j, q_k} = 0, {p_j, p_k} = 0✓ Correct

Explanation

Evaluating the definition gives partial q_j/partial q_i = delta_ji and partial p_k/partial p_i = delta_ki, so {q_j, p_k} = delta_jk. Cross derivatives vanish, giving {q_j, q_k} = 0 and {p_j, p_k} = 0.

வரையறையை மதிப்பிடுவது பகுதி q_j/partial q_i = delta_ji மற்றும் பகுதி p_k/partial p_i = delta_ki, எனவே {q_j, p_k} = delta_jk. குறுக்கு வழித்தோன்றல்கள் மறைந்து, {q_j, q_k} = 0 மற்றும் {p_j, p_k} = 0.

Q5Easy

For constants a and b and phase space functions u, v, w, the linearity of the Poisson bracket is expressed as:

மாறிலிகள் a மற்றும் b மற்றும் ஃபேஸ் ஸ்பேஸ் செயல்பாடுகளுக்கு u, v, w, Poisson அடைப்புக்குறியின் நேர்கோட்டுத்தன்மை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

  1. a{a u + b v, w} = a {u, w} - b {v, w}
  2. b{a u + b v, w} = (a + b) {u + v, w}
  3. c{a u + b v, w} = a {u, w} + b {v, w}✓ Correct
  4. d{a u + b v, w} = a b {u, w} {v, w}

Explanation

Since differentiation is a linear operation, the Poisson bracket is bilinear in both arguments: {a u + b v, w} = a{u, w} + b{v, w}.

வேறுபாடு ஒரு நேரியல் செயல்பாடு என்பதால், பாய்ஸன் அடைப்புக்குறி இரண்டு வாதங்களிலும் இருமுனையாக உள்ளது: {a u + b v, w} = a{u, w} + b{v, w}.

20 more questions on Lagrange and Poisson Brackets

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing