Errors and Floating Point — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Errors and Floating Point, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The difference between the true value and the approximate value is called:

உண்மையான மதிப்புக்கும் தோராயமான மதிப்புக்கும் உள்ள வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது:

  1. aRound-off error — ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழை
  2. bAbsolute error — முழுமையான பிழை✓ Correct
  3. cRelative error — தொடர்புடைய பிழை
  4. dTruncation error — துண்டித்தல் பிழை

Explanation

Absolute error = |True value - Approximate value|. Relative error = Absolute error / |True value|. Percentage error = Relative error x 100. Truncation error arises from approximating an infinite process (e.g., Taylor series) by a finite one. Round-off error arises from finite precision of arithmetic.

முழுமையான பிழை = |உண்மையான மதிப்பு - தோராயமான மதிப்பு|. தொடர்புடைய பிழை = முழுமையான பிழை / |உண்மையான மதிப்பு|. சதவீதப் பிழை = தொடர்புடைய பிழை x 100. ஒரு எல்லையற்ற செயல்முறையை (எ.கா., டெய்லர் தொடர்) வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்றின் மூலம் தோராயமாக்குவதிலிருந்து துண்டிப்புப் பிழை எழுகிறது. ரவுண்ட்-ஆஃப் பிழையானது எண்கணிதத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியத்திலிருந்து எழுகிறது.

Q2Easy

The number 0.003456 rounded to 3 significant figures is:

0.003456 என்ற எண் 3 குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிவிவரங்களுக்கு வட்டமானது:

  1. a0.0035
  2. b0.003
  3. c0.00345
  4. d0.00346✓ Correct

Explanation

Significant figures start from the first non-zero digit. In 0.003456: the digits 3,4,5,6 are significant. 3 significant figures: 0.00346 (the 4th sig fig is 5, so round up: 0.003456 -> 0.00346 when rounded to 3 sig figs? Let me check: 3 sig figs of 0.003456 = 0.00346 (digits: 3,4,6 after rounding the 5). Actually 3,4,5 -> fourth digit is 6 >= 5, so 5 rounds up to 6: 0.00346.

குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிவிவரங்கள் முதல் பூஜ்ஜியமற்ற இலக்கத்திலிருந்து தொடங்குகின்றன. 0.003456 இல் : 3,4,5,6 இலக்கங்கள் குறிப்பிடத்தக்கவை. 3 குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிவிவரங்கள்: 0.00346 (4வது sig fig என்பது 5, எனவே 0.003456 -> 0.00346 ஐ 3 சிக் அத்திப்பழங்களாக வட்டமிடும்போது? நான் சரிபார்க்கிறேன்: 0.003456 = 0.0030 இன் 3 சிக் அத்திப்பழங்கள் (இலக்கங்கள்: 3,4, 5 பிறகு, நான்கு, 5, 5 க்கு பிறகு). இலக்கம் 6 >= 5, எனவே 6 வரை 5 சுற்றுகள்: 0.0031 .

Q3Easy

In a normalized floating-point system with base beta and t digits in the mantissa, a number is represented as x = +/- (0.d_1 d_2 ... d_t) x beta^n where d_1 != 0. The unit roundoff (machine epsilon) is:

மான்டிசாவில் அடிப்படை பீட்டா மற்றும் t இலக்கங்களைக் கொண்ட இயல்பான மிதக்கும் புள்ளி அமைப்பில், ஒரு எண் x = +/- (0.d_1 d_2 ... d_t) x beta^n என குறிப்பிடப்படுகிறது, இதில் d_1 != 0. யூனிட் ரவுண்டாஃப் (மெஷின் எப்சிலான்) ஆகும்:

  1. abeta^{-t}
  2. b1/beta — 1/பீட்டா
  3. cbeta^{t}
  4. dbeta^{1-t}/2✓ Correct

Explanation

Machine epsilon eps_mach = (1/2)*beta^{1-t} (for rounding; for truncation: beta^{1-t}). This is the smallest positive number such that fl(1 + eps) > 1. For IEEE 754 double precision: beta=2, t=53, eps_mach = 2^{-52} approx 2.22e-16. All floating-point operations have relative error at most eps_mach.

மெஷின் எப்சிலன் eps_mach = ( 1/2 )* beta^{1-t} (வட்டமாக்குவதற்கு; துண்டிக்க: beta^{1-t}). இது fl(1 + eps) > 1. IEEE 754க்கு இரட்டைத் துல்லியம்: பீட்டா=2, t=53, eps2x = 2 app 2.22e-16 அனைத்து மிதக்கும் புள்ளி செயல்பாடுகளிலும் பெரும்பாலான eps_mach பிழை உள்ளது.

Q4Easy

The truncation error in the forward difference formula f'(x) approx (f(x+h)-f(x))/h is of order:

முன்னோக்கி வேறுபாடு சூத்திரம் f'(x) தோராயமாக (f(x+h) - f(x) )/h வரிசையின் துண்டிப்புப் பிழை:

  1. aAbsolute error: |x − x*| with physical dimension of x — தனிப் பிழை: x-ன் இயற்பியல் பரிமாணத்துடன் |x − x*|
  2. bRelative error: |x − x*| / |x| (dimensionless fractional error) — சார்புப் பிழை: |x − x*| / |x| (பரிமாணமற்ற பின்னப் பிழை)✓ Correct
  3. cTruncation error: high-order Taylor series remainder term — துண்டிப்புப் பிழை: உயர் வரிசை டெய்லர் தொடர் மீதி உறுப்பு
  4. dPercentage error: 100 · |x − x*| without division by true value — உண்மை மதிப்பால் வகுக்காமல் சதவீதப் பிழை: 100 · |x − x*|

Explanation

Taylor expansion: f(x+h)=f(x)+h*f'(x)+(h^2/2)f''(x)+... So (f(x+h)-f(x))/h = f'(x) + (h/2)f''(x)+... Truncation error = h/2 * f''(xi) = O(h). The centered difference (f(x+h)-f(x-h))/(2h) has truncation error O(h^2).

டெய்லர் விரிவாக்கம்: f(x+h) = f(x) +h*f'(x)+( h^2 /2)f''(x)+... எனவே (f(x+h) - f(x)0 )/h = f'(x) + (h/2)f''(x)+... துண்டிப்புப் பிழை = h/2 * PH' மைய வேறுபாடு (f(x)2 - f(x)3 )/(2h) துண்டிப்புப் பிழை f(x)4 .

Q5Easy

The condition number of a matrix A (for solving Ax=b) is kappa(A) = ||A|| * ||A^{-1}||. A large condition number indicates:

ஒரு அணி A இன் நிபந்தனை எண் (Ax=b ஐ தீர்க்க) kappa(A) = ||A|| * || A^{-1} ||. ஒரு பெரிய நிபந்தனை எண் குறிக்கிறது:

  1. aA has a large determinant — A ஒரு பெரிய தீர்மானிப்பான் உள்ளது
  2. bThe problem is ill-conditioned: small changes in b lead to large changes in x — சிக்கல் நிபந்தனையற்றது: b இல் சிறிய மாற்றங்கள் x இல் பெரிய மாற்றங்களுக்கு வழிவகுக்கும்✓ Correct
  3. cA is symmetric — A என்பது சமச்சீர்
  4. dA is easily invertible — A எளிதில் தலைகீழாக மாறக்கூடியது

Explanation

Condition number: the relative error in x is bounded by kappa(A) times the relative error in b: ||delta x||/||x|| <= kappa(A) * ||delta b||/||b||. If kappa(A) = 10^k, about k digits of precision are lost. Well-conditioned: kappa near 1. Ill-conditioned: kappa >> 1. Example: Hilbert matrix is extremely ill-conditioned.

நிபந்தனை எண்: x இல் உள்ள தொடர்புடைய பிழை PHOLDER ஆல் வரம்பிற்குட்பட்டது b இல் உள்ள தொடர்புடைய பிழையின் 2 மடங்கு: ||டெல்டா x||/||x|| <= kappa(A) * ||டெல்டா b||/||b||. kappa(A) = 10^k எனில், சுமார் k துல்லியமான இலக்கங்கள் இழக்கப்படும். நன்கு நிபந்தனைக்குட்பட்டது: கப்பா அருகில் 1. நிபந்தனையற்றது: கப்பா >> 1. எடுத்துக்காட்டு: ஹில்பர்ட் மேட்ரிக்ஸ் மிகவும் மோசமான நிலையில் உள்ளது.

20 more questions on Errors and Floating Point

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing