Q1Easy
A topological space X is connected if:
ஒரு இடவியல் ஸ்பேஸ் X இணைக்கப்பட்டிருந்தால்:
- aX is compact — எக்ஸ் கச்சிதமானது
- bX cannot be partitioned into two non-empty DISJOINT OPEN sets (no non-trivial clopen partition) — Xஐ இரண்டு காலியாக இல்லாத டிஸ்ஜோயிண்ட் ஓபன் செட்களாகப் பிரிக்க முடியாது (அற்பமற்ற க்ளோபன் பகிர்வு இல்லை)✓ Correct
- cX has no isolated points — X இல் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகள் இல்லை
- dX is path-connected — X என்பது பாதையுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது
Explanation
Connected: X is NOT the union of two non-empty disjoint open sets. Equivalently: the only clopen (simultaneously open and closed) subsets of X are empty set and X itself. Examples of disconnected spaces: {0,1} (discrete), Q (rationals, since Q = Q_{<sqrt2} union Q_{>sqrt2}).
இணைக்கப்பட்டது: X என்பது இரண்டு வெறுமையற்ற டிஸ்ஜயிண்ட் ஓபன் செட்களின் ஒன்றியம் அல்ல. சமமாக: X இன் ஒரே குளோபன் (ஒரே நேரத்தில் திறந்த மற்றும் மூடப்பட்ட) துணைக்குழுக்கள் வெற்று தொகுப்பு மற்றும் X தானே. துண்டிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்: {0,1} (தனிப்பட்டவை), Q (பகுத்தறிவுகள், Q = Q_{<sqrt2} யூனியன் Q_{>sqrt2} என்பதால்).
Q2Easy
The connected subsets of R are exactly:
R இன் இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்கள் சரியாக:
- aCannot be written as the union of two disjoint non-empty open sets — இரு வெட்டாத வெற்றில்லாத திறந்த கணங்களின் சேர்ப்பாக எழுத முடியாது✓ Correct
- bIs homeomorphic to an open or closed interval of the real line — மெய் கோட்டின் ஒரு திறந்த அல்லது மூடிய இடைவெளிக்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆகும்
- cContains no isolated boundary points in its topological closure — அதன் இடவியல் மூடுகையில் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட எல்லைப் புள்ளிகள் இல்லை
- dEvery two points can be joined by a continuously differentiable path — ஒவ்வொரு இரு புள்ளிகளையும் தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்க பாதையால் இணைக்க முடியும்
Explanation
Connected subsets of R = intervals: a subset A of R is connected iff it is an interval (convex subset): for any a,b in A and a<c<b, c is in A. Proof: if A is not an interval, find c in (a,b)\A; then A = (A intersect (-inf,c)) union (A intersect (c,inf)) separates A.
R = இடைவெளிகளின் இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்கள்: R இன் துணைக்குழு A இணைக்கப்பட்டால் அது ஒரு இடைவெளியாக இருந்தால் (குவிந்த துணைக்குழு): A இல் ஏதேனும் a,b மற்றும் a<c<b, c என்பது A இல் உள்ளது. ஆதாரம்: A என்பது இடைவெளியாக இல்லாவிட்டால் (a,b)\A இல் cஐக் கண்டறியவும்; பின்னர் A = (A வெட்டும் (-inf,c)) ஒன்றியம் (A வெட்டும் (c,inf)) A பிரிக்கிறது.
Q3Easy
A space X is path-connected if for any two points x,y in X there exists a continuous path p: [0,1] -> X with p(0)=x, p(1)=y. Path-connected implies:
X இல் x,y என்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கு ஒரு தொடர்ச்சியான பாதை p: [0,1] -> X உடன் p(0) =x, p(1) =y இருந்தால், ஸ்பேஸ் X பாதையுடன் இணைக்கப்படும். பாதை-இணைக்கப்பட்டவை குறிக்கிறது:
- aConnected — இணைக்கப்பட்டது✓ Correct
- bLocally connected — உள்நாட்டில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது
- cSimply connected — வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது
- dCompact — கச்சிதமான
Explanation
Path-connected => connected: if X = A union B (disjoint open nonempty), pick a in A, b in B, and a path p: [0,1] -> X from a to b. Then [0,1] = p^{-1}(A) union p^{-1}(B) (disjoint open nonempty) contradicting connectedness of [0,1]. The converse fails: the topologist's sine curve is connected but not path-connected.
பாதை-இணைக்கப்பட்டது => இணைக்கப்பட்டுள்ளது: X = A யூனியன் B (கிடைக்காமல் திறந்திருந்தால்), A இல் a, B இல் b மற்றும் ஒரு பாதை p: [0,1] -> X லிருந்து b வரை தேர்ந்தெடுக்கவும். அதன் பிறகு [0,1] = p^{-1}(A) யூனியன் p^{-1}(B) (டிஸ்ஜொயிண்ட் ஓபன் நோன்ம்ப்டி) [0,1] இன் இணைப்பிற்கு முரணானது. உரையாடல் தோல்வியடைகிறது: இடவியலாளரின் சைன் வளைவு இணைக்கப்பட்டுள்ளது ஆனால் பாதையுடன் இணைக்கப்படவில்லை.
Q4Easy
The connected component of a point x in X is:
X இல் ஒரு புள்ளி x இன் இணைக்கப்பட்ட கூறு:
- aThe closure of {x} — {x} இன் மூடல்
- bThe largest connected subset of X containing x (union of all connected subsets containing x) — X இன் மிகப்பெரிய இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழு x (xஐக் கொண்ட அனைத்து இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களின் ஒன்றியம்)✓ Correct
- cA neighborhood of x — x இன் சுற்றுப்புறம்
- dAny open set containing x — x கொண்டிருக்கும் எந்த திறந்த தொகுப்பும்
Explanation
Connected component: C(x) = union of all connected subsets of X containing x. This is the largest connected set containing x. Properties: (1) C(x) is closed. (2) C(x) and C(y) are either equal or disjoint. (3) X is the disjoint union of its connected components. (4) C(x) = {x} for each x iff X is totally disconnected.
இணைக்கப்பட்ட கூறு: C(x) = X ஐக் கொண்ட அனைத்து இணைக்கப்பட்ட துணைக்குழுக்களின் ஒன்றியம். x ஐக் கொண்ட மிகப்பெரிய இணைக்கப்பட்ட தொகுப்பு இதுவாகும். பண்புகள்: (1) C(x) மூடப்பட்டது. (2) C(x) மற்றும் C(y) ஆகியவை சமமானவை அல்லது ஒன்றிணைந்தவை. (3) X என்பது அதன் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளின் ஒன்றிணைந்த ஒன்றியமாகும். (4) C(x) = ஒவ்வொரு x iff Xக்கும் {x} முற்றிலும் துண்டிக்கப்பட்டது.
Q5Easy
A space is totally disconnected if every connected component is a single point. Which is totally disconnected?
இணைக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கூறுகளும் ஒரு புள்ளியாக இருந்தால், இடைவெளி முற்றிலும் துண்டிக்கப்படும். எது முற்றிலும் துண்டிக்கப்பட்டது?
- aSubsets containing only rational numbers ℚ ∩ [a, b] — விகிதமுறு எண்களை மட்டுமே கொண்ட உட்கணங்கள் ℚ ∩ [a, b]
- bCantor ternary sets formed by removing middle thirds — நடுத்தர மூன்றில் ஒரு பகுதியை நீக்குவதன் மூலம் உருவாகும் கேண்டர் கணங்கள்
- cConnected intervals (open, closed, half-open, or rays) — இணைக்கப்பட்ட இடைவெளிகள் (திறந்த, மூடிய, அரை-திறந்த, அல்லது கதிர்கள்)✓ Correct
- dOpen disks B(x, ε) in the metric Euclidean topology — யூக்ளிடிய மெட்ரிக் இடவியலில் திறந்த வட்டுகள் B(x, ε)
Explanation
Cantor set C is totally disconnected: C = [0,1] minus countably many open intervals. C has no non-trivial connected subsets (any interval that fits in C must be a single point, since C contains no intervals). C is also compact and perfect (every point is a limit point). C is homeomorphic to {0,1}^N (Cantor space).
கேன்டர் செட் C முற்றிலும் துண்டிக்கப்பட்டது: C = [0,1] கழித்தல் எண்ணத்தக்க பல திறந்த இடைவெளிகள். C இல் அற்பமான இணைக்கப்படாத துணைக்குழுக்கள் இல்லை (C இல் பொருந்தக்கூடிய எந்த இடைவெளியும் ஒரு புள்ளியாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் C இல் இடைவெளிகள் இல்லை). C கூட கச்சிதமானது மற்றும் சரியானது (ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு வரம்பு புள்ளியாகும்). C ஆனது {0,1}^N (Cantor space) க்கு ஹோமியோமார்ஃபிக் ஆகும்.
20 more questions on Connectedness
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.