Q1Easy
The residue theorem: if f is meromorphic inside and on C (simple closed curve, counterclockwise), then:
எச்ச தேற்றம்: f ஆனது உள்ளேயும் C லும் மெரோமார்பிக் என்றால் (எளிய மூடிய வளைவு, எதிரெதிர் திசையில்), பின்:
- a∮_C f(z) dz = πi ∑_{k=1}^m Res(f; z_k) (half-residue sum formula) — ∮_C f(z) dz = πi ∑_{k=1}^m Res(f; z_k) (அரை எச்ச கூடுதல் சூத்திரம்)
- b∮_C f(z) dz = 0 identically for all meromorphic functions — அனைத்து மெரோமார்பிக் சார்புகளுக்கும் முற்றொருமையாக ∮_C f(z) dz = 0
- c∮_C f(z) dz = 2πi ∑_{k=1}^m ord(z_k) (sum of pole multiplicities) — ∮_C f(z) dz = 2πi ∑_{k=1}^m ord(z_k) (துருவ பெருக்கங்களின் கூடுதல்)
- d∮_C f(z) dz = 2πi ∑_{k=1}^m Res(f; z_k) (sum of residues inside C) — ∮_C f(z) dz = 2πi ∑_{k=1}^m Res(f; z_k) (C-ன் உள்ளே உள்ள எச்சங்களின் கூடுதல்)✓ Correct
Explanation
Residue theorem: ∮_C f dz = 2*pi*i * sum_{k} Res[f; z_k] where z_k are the poles of f inside C. Each pole contributes 2*pi*i times its residue. Generalization of Cauchy's theorem (which says the sum is 0 when f is analytic).
எச்ச தேற்றம்: ∮_C f dz = 2*pi*i * sum_{k} Res[f; z_k] இதில் z_k என்பது C இன் உள்ளே இருக்கும் f இன் துருவங்கள். ஒவ்வொரு துருவமும் அதன் எச்சத்தை விட 2*pi*i மடங்கு பங்களிக்கிறது. கௌச்சியின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் (எப் பகுப்பாய்வாக இருக்கும்போது கூட்டுத்தொகை 0 என்று கூறுகிறது).
Q2Easy
For a simple pole at z=z_0, the residue of f(z) = p(z)/q(z) (with p(z_0) != 0 and q having a simple zero at z_0) is:
z=z_0 இல் உள்ள எளிய துருவத்திற்கு, f(z) = p(z) / q(z) (p(z_0) != 0 மற்றும் q உடன் z_0 இல் எளிய பூஜ்ஜியம் உள்ளது) எச்சம்:
- ap(z₀) · q'(z₀) (product of values at z₀) — p(z₀) · q'(z₀) (z₀-ல் மதிப்புகளின் பெருக்கல்)
- bp(z₀) / q'(z₀) (evaluating derivative of denominator) — p(z₀) / q'(z₀) (பகுதியின் வகைக்கெழுவை மதிப்பிட்டு)✓ Correct
- cp'(z₀) / q(z₀) (evaluating derivative of numerator) — p'(z₀) / q(z₀) (தொகுதியின் வகைக்கெழுவை மதிப்பிட்டு)
- dp'(z₀) / q'(z₀) (applying L'Hôpital quotient rule) — p'(z₀) / q'(z₀) (எல்'ஹாபிடால் ஈவு விதியைப் பயன்படுத்தி)
Explanation
For a simple pole at z_0 of f=p/q: Res = lim_{z->z_0}(z-z_0)p(z)/q(z). By L'Hopital (since q(z_0)=0): = p(z_0)/q'(z_0). This formula avoids partial fractions.
f=p/q இல் z_0 இல் ஒரு எளிய துருவத்திற்கு: Res = lim_{z->z_0}(z-z_0) p(z) / q(z) . L'Hopital மூலம் (q(z_0) =0 என்பதால்): = p(z)0 /q'(z_0). இந்த சூத்திரம் பகுதி பின்னங்களை தவிர்க்கிறது.
Q3Easy
Residue of f(z) = 1/z^2 at z=0:
f(z) = 1/ z^2 இன் எச்சம் z=0:
- a−1 (from negative exponent differentiation) — −1 (எதிர்மறை அடுக்கு வகையிடலிலிருந்து)
- b2 (equating residue to the pole order) — 2 (எச்சத்தை துருவ வரிசைக்கு சமமாக எடுத்து)
- c1 (treating the pole as having unit residue) — 1 (துருவத்தை அலகு எச்சம் கொண்டதாகக் கருதி)
- d0 (since the Laurent expansion has no z⁻¹ term) — 0 (லாரன்ட் தொடரில் z⁻¹ உறுப்பு இல்லாததால்)✓ Correct
Explanation
Laurent series of 1/z^2 = z^{-2}. The residue is the coefficient of z^{-1}, which is 0. (The Laurent series has no z^{-1} term.) So Res[1/z^2; 0] = 0.
லாரன்ட் தொடர் 1/ z^2 = z^{-2} . எச்சம் என்பது z^{-1} இன் குணகம், இது 0. (லாரன்ட் தொடருக்கு z^{-1} சொல் இல்லை.) எனவே Res[1/z^2 ; 0] = 0.
Q4Easy
Residue of f(z) = e^z/z^3 at z=0:
f(z) = e^z / z^3 இன் எச்சம் z=0:
- a1
- b0
- c1/2✓ Correct
- d1/6
Explanation
e^z/z^3 = (1 + z + z^2/2 + z^3/6 + ...)/z^3 = z^{-3} + z^{-2} + (1/2)z^{-1} + 1/6 + ... Residue = coefficient of z^{-1} = 1/2. Alternatively: Res = f''(0)/2! = e^0/2 = 1/2 (using derivative formula for pole of order 3: n=2 -> 1/(2!)*(d^2/dz^2[e^z])|_0 = 1/2).
e^z / z^3 = (1 + z + z^2 /2 + z^3 /6 + ...)/ z^3 = e^z0 + e^z1 + (e^z2 ) e^z3 + e^z4 + ... எச்சம் = 6 e^z4 + ... மாற்றாக: Res = f''(0)/2! = e^z7 /2 = e^z8 (வரிசை 3-ன் துருவத்திற்கான வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி: n=2 -> 1/(2!)*( e^z9 / z^30 [z^31 ])|_0 = z^32 ).
Q5Easy
∮_{|z|=2} (z+1)/(z(z-1)) dz. Poles at z=0 and z=1, both inside |z|=2:
∮_{|z|=2} (z+1)/( z(z-1) ) dz. z=0 மற்றும் z=1 இல் உள்ள துருவங்கள், உள்ளே |z|=2:
- a4πi (adding absolute values of individual residues) — 4πi (தனித்தனி எச்சங்களின் தனி மதிப்புகளைக் கூட்டி)
- b0 (assuming mutual cancellation of pole values) — 0 (துருவ மதிப்புகள் ஒன்றையொன்று நீக்குவதாகக் கருதி)
- c2πi (sum of residues Res(0)=−1 and Res(1)=2 gives 1 · 2πi) — 2πi (எச்சங்கள் Res(0)=−1 மற்றும் Res(1)=2-ன் கூடுதல் 1 · 2πi)✓ Correct
- d−2πi (taking only the residue contribution at the origin) — −2πi (ஆதிப்புள்ளியின் எச்சப் பங்களிப்பை மட்டும் எடுத்து)
Explanation
Res[f;0] = lim z->0 z*(z+1)/(z(z-1)) = (z+1)/(z-1)|_{z=0} = 1/(-1) = -1. Res[f;1] = lim z->1 (z-1)*(z+1)/(z(z-1)) = (z+1)/z|_{z=1} = 2. Sum: (-1+2) = 1. Integral = 2*pi*i*1 = 2*pi*i.
Res[f;0] = லிம் z->0 z*(z+1)/( z(z-1) ) = (z+1)/(z-1)|_{z=0} = 1/(-1) = -1. Res[f;1] = lim z->1 (z-1)*(z+1)/( z(z-1) ) = (z+1)/z|_{z=1} = 2. தொகை: (-1+2) = 1. Integral = 2*pi*i*1 = 2*pi*i.
20 more questions on Residue Theory
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.