Surfaces and the First Fundamental Form — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Surfaces and the First Fundamental Form, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A regular parametrised surface r = r(u, v) requires that:

ஒரு வழக்கமான அளவுரு மேற்பரப்பு r = r(u, v) க்கு இது தேவைப்படுகிறது:

  1. a|r_u| = |r_v| = 1 everywhere (parameters must be arc length along coordinates) — எங்கும் |r_u| = |r_v| = 1 (அளவுருக்கள் ஆயங்கள் நெடுகிலும் வில்லின் நீளமாக இருக்க வேண்டும்)
  2. br_uu x r_vv = 0 (second derivatives must be collinear at all points) — r_uu x r_vv = 0 (இரண்டாவது வகைக்கெழுக்கள் அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரே கோட்டில் அமைய வேண்டும்)
  3. cr_u x r_v != 0 (partial derivatives are linearly independent, normal vector exists) — r_u x r_v != 0 (பகுதி வகைக்கெழுக்கள் நேரியல் சார்பற்றவை, செங்குத்து வெக்டர் உள்ளது)✓ Correct
  4. dr_u . r_v = 0 identically (coordinate lines must be orthogonal everywhere) — முற்றொருமையாக r_u . r_v = 0 (ஆயக் கோடுகள் எங்கும் செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும்)

Explanation

Regularity guarantees a well-defined tangent plane and unit normal at each point. Points where the cross product vanishes are singular, like the apex of a cone.

ஒழுங்குமுறையானது, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட தொடுகோடு விமானம் மற்றும் அலகு இயல்புக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது. குறுக்கு தயாரிப்பு மறைந்து போகும் புள்ளிகள் கூம்பின் உச்சியைப் போல ஒருமையில் இருக்கும்.

Q2Easy

The tangent plane to a surface at a point is spanned by:

ஒரு புள்ளியில் ஒரு மேற்பரப்பிற்கான தொடுகோடு விமானம் பரவியுள்ளது:

  1. ar_u and r_v — r_u மற்றும் r_v✓ Correct
  2. br_u x r_v
  3. cThe normal vector — சாதாரண திசையன்
  4. dr_uu and r_vv — r_uu மற்றும் r_vv

Explanation

Any curve on the surface through the point has a tangent that is a linear combination of r_u and r_v, so these span the tangent space.

புள்ளியின் வழியாக மேற்பரப்பில் உள்ள எந்த வளைவும் r_u மற்றும் r_v ஆகியவற்றின் நேரியல் கலவையாகும், எனவே இவை தொடுகோடு இடைவெளியை பரப்புகின்றன.

Q3Easy

The unit surface normal N is given by:

யூனிட் மேற்பரப்பு சாதாரண N ஆனது:

  1. ar_u x r_v
  2. br_u dot r_v — r_u புள்ளி r_v
  3. cr_u + r_v
  4. d(r_u x r_v) / |r_u x r_v|✓ Correct

Explanation

Its sign depends on the ordering of parameters; swapping u and v reverses N. A surface admitting a consistent global choice is called orientable.

அதன் அடையாளம் அளவுருக்களின் வரிசையைப் பொறுத்தது; u மற்றும் v ஐ மாற்றுவது N. ஒரு நிலையான உலகளாவிய தேர்வை ஒப்புக்கொள்ளும் மேற்பரப்பு ஓரியண்டபிள் எனப்படும்.

Q4Easy

The first fundamental form of a surface is:

மேற்பரப்பின் முதல் அடிப்படை வடிவம்:

  1. aI = E du^2 + 2F du dv + G dv^2, with E = r_u . r_u, F = r_u . r_v, G = r_v . r_v — I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2, இங்கு E = r_u . r_u, F = r_u . r_v, G = r_v . r_v✓ Correct
  2. bI = L du^2 + 2M du dv + N dv^2, with L = r_uu . n, M = r_uv . n, N = r_vv . n — I = L du^2 + 2M du dv + N dv^2, இங்கு L = r_uu . n, M = r_uv . n, N = r_vv . n
  3. cI = E du^2 + F du dv + G dv^2, with E = |r_u|, F = |r_u x r_v|, G = |r_v| — I = E du^2 + F du dv + G dv^2, இங்கு E = |r_u|, F = |r_u x r_v|, G = |r_v|
  4. dI = E^2 du^2 + 2F^2 du dv + G^2 dv^2, measuring Euclidean coordinate distances — I = E^2 du^2 + 2F^2 du dv + G^2 dv^2, யூக்ளிடியன் ஆய தூரங்களை அளவிடுகிறது

Explanation

It is the restriction of the ambient dot product to the tangent plane, and encodes all intrinsic metric information -- lengths, angles and areas.

இது சுற்றுப்புற புள்ளி தயாரிப்பின் தொடுநிலை விமானத்திற்கு வரம்பு, மற்றும் அனைத்து உள்ளார்ந்த மெட்ரிக் தகவல்களையும் -- நீளம், கோணங்கள் மற்றும் பகுதிகளை குறியாக்கம் செய்கிறது.

Q5Easy

The arc length of a curve u = u(t), v = v(t) on a surface is found by integrating:

ஒரு வளைவின் வளைவின் நீளம் u = u(t) , v = v(t) ஒரு மேற்பரப்பில் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது:

  1. aIntegral of (E u' + G v') dt across coordinate increments — ஆய அதிகரிப்புகளில் (E u' + G v') dt-ன் தொகையீடு
  2. bIntegral of sqrt(E u'^2 + 2F u' v' + G v'^2) dt along parameter interval — அளவுரு இடைவெளியில் sqrt(E u'^2 + 2F u' v' + G v'^2) dt-ன் தொகையீடு✓ Correct
  3. cIntegral of sqrt(EG - F^2) dt over the bounding area domain — எல்லைப் பகுதி களத்தின் மீது sqrt(EG - F^2) dt-ன் தொகையீடு
  4. dIntegral of sqrt(L u'^2 + 2M u' v' + N v'^2) dt along normal curvature — செங்குத்து வளைவு நெடுகிலும் sqrt(L u'^2 + 2M u' v' + N v'^2) dt-ன் தொகையீடு

Explanation

This is precisely why the first fundamental form is also called the metric form -- it converts parameter-space displacements into true surface distances.

அதனால்தான் முதல் அடிப்படை வடிவம் மெட்ரிக் வடிவம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது -- இது அளவுரு-வெளி இடப்பெயர்வுகளை உண்மையான மேற்பரப்பு தூரமாக மாற்றுகிறது.

20 more questions on Surfaces and the First Fundamental Form

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing