Q1Easy
A conformal mapping at z_0 is an analytic function f with f'(z_0) != 0. "Conformal" means:
z_0 இல் உள்ள ஒரு கன்ஃபார்மல் மேப்பிங் என்பது f'(z_0) != 0 உடன் ஒரு பகுப்பாய்வு சார்பு ஆகும். "கன்ஃபார்மல்" என்றால்:
- af is a global bijection on all of ℂ unconditionally — நிபந்தனையின்றி ℂ முழுவதும் ஒரு உலகளாவிய இருவழி சார்பு
- bf'(z₀) ≠ 0 (preserving both angle magnitude and orientation) — f'(z₀) ≠ 0 (கோண அளவு மற்றும் நோக்குநிலை இரண்டையும் பாதுகாத்தல்)✓ Correct
- c|f'(z₀)| = 1 (strict isometry preserving lengths) — |f'(z₀)| = 1 (நீளங்களைப் பாதுகாக்கும் கண்டிப்பான தூரங்காப்பு)
- df'(z₀) = 0 (critical point where angles are doubled) — f'(z₀) = 0 (கோணங்கள் இரட்டிப்பாகும் மாறுநிலைப் புள்ளி)
Explanation
Conformal = angle-preserving. If two curves meet at z_0 with angle alpha, their images under f meet at f(z_0) with the same angle alpha (same magnitude and orientation). The magnification factor is |f'(z_0)| and rotation is arg(f'(z_0)).
இணக்கம் = கோணம்-பாதுகாத்தல். இரண்டு வளைவுகள் கோண ஆல்பாவுடன் z_0 இல் சந்தித்தால், f இன் கீழ் உள்ள அவற்றின் படங்கள் f(z_0) இல் அதே கோண ஆல்பாவுடன் (அதே அளவு மற்றும் நோக்குநிலை) சந்திக்கும். உருப்பெருக்கம் காரணி |f'(z_0)| மற்றும் சுழற்சி arg(f'(z_0) ஆகும்).
Q2Easy
A Mobius transformation f(z) = (az+b)/(cz+d) with ad-bc != 0 maps:
ஒரு Mobius மாற்றம் f(z) = (az+b)/(cz+d) ad-bc != 0 வரைபடங்கள்:
- aBounded sets to bounded sets — வரம்புக்குட்பட்ட தொகுப்புகள்
- bThe unit disk to the upper half-plane always — யூனிட் வட்டு மேல் அரை-தளத்திற்கு எப்போதும்
- cCircles and lines to circles and lines — வட்டங்கள் மற்றும் கோடுகள் வட்டங்கள் மற்றும் கோடுகள்✓ Correct
- dThe real line to itself — தனக்குத்தானே உண்மையான வரி
Explanation
Mobius transformations (bilinear/linear fractional) map "circles and lines" to "circles and lines" (treating lines as circles through infinity). They form a group under composition, isomorphic to PSL(2,C).
மொபியஸ் உருமாற்றங்கள் (பைலினியர்/லீனியர் ஃப்ராக்னல்) வரைபடம் "வட்டங்கள் மற்றும் கோடுகள்" முதல் "வட்டங்கள் மற்றும் கோடுகள்" (முடிவிலி மூலம் கோடுகளை வட்டங்களாகக் கருதுதல்). அவை கலவையின் கீழ் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன, ஐசோமார்பிக் முதல் PSL(2,C) .
Q3Easy
The Mobius transformation that maps the upper half-plane H to the unit disk D = {|w|<1} is:
மொபியஸ் உருமாற்றமானது மேல் அரை-தளம் H ஐ யூனிட் டிஸ்க் D = {|w|<1} க்கு வரைபடமாக்குகிறது:
- aw = iz
- bw = (z+1)/(z-1)
- cw = (z-i)/(z+i)✓ Correct
- dw = 1/z
Explanation
f(z) = (z-i)/(z+i): at z=0 (on boundary of H), f(0) = -i/i = -1 on |w|=1. At z=i (inside H), f(i) = 0. f maps the real axis to the unit circle and H to the unit disk. The inverse maps D to H.
f(z) = (z-i)/(z+i): z=0 (H இன் எல்லையில்), f(0) = -i/i = -1 இல் |w|=1. z=i (H இன் உள்ளே), f(i) = 0. f ஆனது உண்மையான அச்சை அலகு வட்டத்திற்கும் H அலகு வட்டிற்கும் வரைபடமாக்குகிறது. தலைகீழ் வரைபடங்கள் D முதல் H வரை.
Q4Easy
The Joukowski mapping w = z + 1/z maps the exterior of the unit circle to:
ஜூகோவ்ஸ்கி மேப்பிங் w = z + 1/z அலகு வட்டத்தின் வெளிப்புறத்தை வரைபடமாக்குகிறது:
- aw = z₁ z₂ z₃ / z as an inversion transformation — ஒரு தலைகீழ் மாற்றமாக w = z₁ z₂ z₃ / z
- bw = (z + z₁ + z₂) / z₃ as an affine combination — ஒரு சேர்க்கை மாற்றமாக w = (z + z₁ + z₂) / z₃
- c(w, w₁, w₂, w₃) = (z, z₁, z₂, z₃) (cross-ratio preservation) — (w, w₁, w₂, w₃) = (z, z₁, z₂, z₃) (குறுக்கு-விகிதப் பாதுகாப்பு)✓ Correct
- dw = (z − z₁) / (z₂ − z₃) as a linear interpolation — நேரியல் இடைச்செருகலாக w = (z − z₁) / (z₂ − z₃)
Explanation
On |z|=1: z=e^{i*theta}, w=e^{i*theta}+e^{-i*theta}=2*cos(theta) in [-2,2]. So the unit circle maps to the segment [-2,2]. The exterior |z|>1 maps conformally to C\[-2,2] (the exterior of the airfoil profile). This is the foundation of airfoil theory.
அன்று |z|=1: z= e^{i *theta}, w= e^{i *theta}+ e^{-i *theta}=2* cos(theta) இல் [-2,2]. எனவே அலகு வட்டம் பிரிவு [-2,2] வரை வரைபடங்கள். வெளிப்புறம் |z|>1 வரைபடங்கள் C\[-2,2] (ஏர்ஃபாயில் சுயவிவரத்தின் வெளிப்புறம்) க்கு இணக்கமாக உள்ளது. இது ஏர்ஃபாயில் கோட்பாட்டின் அடித்தளம்.
Q5Easy
By the Riemann mapping theorem, any simply connected proper subset of C is conformally equivalent to the unit disk. Which of these is NOT simply connected?
ரீமான் மேப்பிங் தேற்றம் மூலம், C இன் எந்த எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட சரியான துணைக்குழுவும் யூனிட் டிஸ்கிற்கு சமமானதாகும். இவற்றில் எது எளிமையாக இணைக்கப்படவில்லை?
- aThe upper half-plane — மேல் அரை விமானம்
- bAn annulus 1 < |z| < 2 — ஒரு வளையம் 1 < |z| < 2✓ Correct
- cA disk with the center removed — மையத்துடன் ஒரு வட்டு அகற்றப்பட்டது
- dA triangle — ஒரு முக்கோணம்
Explanation
An annulus has a hole (fundamental group pi_1 = Z), so it is NOT simply connected. The upper half-plane, triangular regions, and simply-shaped domains are simply connected. The annulus is doubly connected (homotopy class of a loop around the hole is non-trivial).
ஒரு வளையத்தில் ஒரு துளை உள்ளது (அடிப்படை குழு pi_1 = Z), எனவே அது வெறுமனே இணைக்கப்படவில்லை. மேல் அரை-தளம், முக்கோணப் பகுதிகள் மற்றும் எளிமையாக வடிவ களங்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. வளையம் இரட்டிப்பாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது (துளையைச் சுற்றியுள்ள வளையத்தின் ஹோமோடோபி வகுப்பு அற்பமானது அல்ல).
20 more questions on Conformal Mapping
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.