Q1Easy
An ordinary point x_0 of y''+ p(x)y' + q(x)y = 0 is a point where p(x) and q(x) are:
ஒரு சாதாரண புள்ளி x_0 இன் y''+ p(x) y' + q(x) y = 0 என்பது p(x) மற்றும் q(x) இருக்கும் புள்ளியாகும்:
- aVanishing identically at x₀ with non-zero higher derivatives — பூஜ்ஜியமற்ற உயர் வகைக்கெழுக்களுடன் x₀-ல் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியமாகும்
- bPolynomials of degree at most 2 throughout the real line — மெய் கோடு முழுவதும் அதிகபட்சம் 2 படி கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
- cDiscontinuous at x₀ with jump discontinuity of finite size — முடிவுறு அளவு கொண்ட தாவல் தொடர்ச்சியின்மையுடன் x₀-ல் தொடர்ச்சியற்றது
- dAnalytic at x₀ (expandable as convergent power series in a neighborhood) — x₀-ல் பகுமுறை (அண்மையில் குவியும் படித் தொடராக விரிவாக்கக்கூடியது)✓ Correct
Explanation
x_0 is an ordinary point iff p(x) and q(x) are both analytic at x_0 (have convergent Taylor series). At ordinary points, the solution has a power series y=sum a_n(x-x_0)^n converging in a neighborhood of x_0.
x_0 என்பது ஒரு சாதாரண புள்ளி என்றால் p(x) மற்றும் q(x) இரண்டும் x_0 இல் பகுப்பாய்வாக இருக்கும் (ஒருங்கிணைந்த டெய்லர் தொடர்கள் உள்ளன). சாதாரண புள்ளிகளில், தீர்வு y=sum a_n(x-x_0) ^n x_0 இன் சுற்றுப்புறத்தில் ஒரு சக்தித் தொடரைக் கொண்டுள்ளது.
Q2Easy
x_0 is a regular singular point of y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 if x_0 is a singular point (p or q undefined at x_0) but:
x_0 என்பது y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 இன் வழக்கமான ஒருமைப் புள்ளியாகும்.
- ap and q are both undefined everywhere — p மற்றும் q இரண்டும் எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்படவில்லை
- b(x-x_0)p(x) and (x-x_0)^2 q(x) are both analytic at x_0 — (x-x_0) p(x) மற்றும் (x-x_0)^2 q(x) இரண்டும் x_0 இல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன✓ Correct
- cp and q are polynomials — p மற்றும் q ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
- dThe solution is bounded at x_0 — தீர்வு x_0 இல் கட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது
Explanation
Regular singular point: (x-x_0)p(x) and (x-x_0)^2 q(x) are analytic at x_0. Irregular singular point: neither of these conditions. At regular singular points, the Frobenius method applies. Examples: Bessel equation (x=0 is regular singular), Euler-Cauchy equation.
வழக்கமான ஒற்றைப் புள்ளி: (x-x_0) p(x) மற்றும் (x-x_0)^2 q(x) ஆகியவை x_0 இல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன. ஒழுங்கற்ற ஒற்றை புள்ளி: இந்த நிபந்தனைகள் எதுவும் இல்லை. வழக்கமான ஒற்றை புள்ளிகளில், ஃப்ரோபீனியஸ் முறை பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டுகள்: பெசல் சமன்பாடு (x=0 என்பது வழக்கமான ஒருமை), யூலர்-காச்சி சமன்பாடு.
Q3Easy
At a regular singular point x_0, the Frobenius method seeks a solution of the form:
வழக்கமான ஒற்றை புள்ளி x_0 இல், ஃப்ரோபீனியஸ் முறை படிவத்தின் தீர்வைத் தேடுகிறது:
- ay = x^r * sum_{n=0}^{inf} a_n x^n = sum_{n=0}^{inf} a_n x^{n+r}✓ Correct
- by = e^{rx}
- cy = a_0 + a_1 x
- dy = sum_{n=0}^{inf} a_n x^n
Explanation
Frobenius series: y = x^r sum_{n=0}^{inf} a_n x^n = sum a_n x^{n+r}. The exponent r is determined by the indicial equation. This works because the regular singular point's singularity is "mild enough" for a generalized power series.
ஃப்ரோபீனியஸ் தொடர்: y = x^r sum_{n=0}^{inf} a_n x^n = தொகை a_n x^{n+r} . அடுக்கு r என்பது குறியீட்டு சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. வழக்கமான ஒருமைப் புள்ளியின் ஒருமைப்பாடு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சக்தித் தொடருக்கு "மிதமானதாக" இருப்பதால் இது வேலை செய்கிறது.
Q4Easy
The indicial equation for the Frobenius method at x=0 for x^2 y'' + xp_0 y' + q_0 y = 0 (p_0, q_0 constants) is:
x^2 y'' + xp_0 y' + q_0 y = 0 (p_0, q_0 மாறிலிகள்) க்கு x=0 இல் உள்ள Frobenius முறைக்கான குறியீட்டு சமன்பாடு:
- aOrdinary point where standard Taylor series expansion applies — வழக்கமான டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கம் பொருந்தும் சாதாரண புள்ளி
- bRegular singular point (since (x−x₀)P(x) and (x−x₀)²Q(x) are analytic) — ஒழுங்கான ஒருமைப் புள்ளி ((x−x₀)P(x) மற்றும் (x−x₀)²Q(x) பகுமுறை என்பதால்)✓ Correct
- cRemovable point where all solutions are automatically polynomials — அனைத்து தீர்வுகளும் தானாகவே பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும் நீக்கக்கூடிய புள்ளி
- dIrregular singular point with essential singularity in coefficients — கெழுக்களில் அத்தியாவசிய ஒருமைத்தன்மை கொண்ட ஒழுங்கற்ற ஒருமைப் புள்ளி
Explanation
Substituting y=x^r: x^2*r(r-1)x^{r-2}+xp_0*rx^{r-1}+q_0*x^r = x^r[r(r-1)+p_0 r+q_0] = 0. Indicial equation: r^2+(p_0-1)r+q_0=0.
y= x^r ஐ மாற்றுகிறது : x^2 * r(r-1) x^{r-2}+xp_0 * rx^{r-1}+q_0 * x^r = r(r-1)0 [ r(r-1)1 +p_0 r+q_0] = 0. குறியீட்டு சமன்பாடு: r(r-1)2 =0.
Q5Easy
If the indicial roots r_1, r_2 satisfy r_1 - r_2 is NOT a non-negative integer, the two Frobenius solutions are:
r_1, r_2 ஆகிய குறியீட்டு வேர்கள் r_1 - r_2 ஐ திருப்திப்படுத்தினால், எதிர்மில்லாத முழு எண் இல்லை, இரண்டு Frobenius தீர்வுகள்:
- ay_1=x^{r_1}, y_2=x^{r_2} — y_1= x^{r_1} , y_2= x^{r_2}
- by_1=x^{r_1}sum a_n x^n and y_2=x^{r_2}sum b_n x^n (independent series) — y_1= x^{r_1}sum a_n x^n மற்றும் y_2= x^{r_2}sum b_n x^n (சுதந்திர தொடர்)✓ Correct
- cy_1=ln x, y_2=x
- dOnly one solution exists — ஒரே ஒரு தீர்வு உள்ளது
Explanation
If r_1-r_2 is not a non-negative integer: two independent Frobenius series y_1=x^{r_1}sum a_n x^n and y_2=x^{r_2}sum b_n x^n. If r_1-r_2 is a positive integer: y_2 may include a logarithmic term. If r_1=r_2: y_2 = y_1 ln x + x^{r_1} sum b_n x^n.
r_1-r_2 என்பது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால்: இரண்டு சார்பற்ற ஃப்ரோபீனியஸ் தொடர்கள் y_1= x^{r_1}sum a_n x^n மற்றும் y_2= x^{r_2}sum b_n x^n . r_1-r_2 நேர்மறை முழு எண்ணாக இருந்தால்: y_2 ஒரு மடக்கைச் சொல்லைக் கொண்டிருக்கலாம். r_1=r_2 என்றால்: y_2 = y_1 ln x + x^n0 கூட்டு b_n x^n1 .
20 more questions on Series Solutions of ODEs
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.