Q1Easy
A Hilbert space is:
ஒரு ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ்:
- aAn inner product space that is complete in the induced norm — தூண்டப்பட்ட நெறிமுறையில் முழுமையான உள் தயாரிப்பு இடம்✓ Correct
- bAny inner product space — எந்த உள் தயாரிப்பு இடம்
- cAny Banach space — ஏதேனும் பனாச் இடம்
- dA finite dimensional normed space — ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடம்
Explanation
Completeness distinguishes a Hilbert space from a general inner product (pre-Hilbert) space. Every Hilbert space is a Banach space whose norm satisfies the parallelogram law.
முழுமை ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தை பொதுவான உள் தயாரிப்பு (முன்-ஹில்பர்ட்) இடத்திலிருந்து வேறுபடுத்துகிறது. ஒவ்வொரு ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸும் ஒரு பனாச் ஸ்பேஸ் ஆகும், அதன் விதிமுறை இணையான வரைபடத்தை பூர்த்தி செய்கிறது.
Q2Easy
The Cauchy-Schwarz inequality in an inner product space states:
உள் தயாரிப்பு இடத்தில் Cauchy-Schwarz சமத்துவமின்மை கூறுகிறது:
- a|<x,y>| >= ||x|| ||y||, with equality for all orthogonal vectors in H — H-ல் உள்ள அனைத்து செங்குத்து வெக்டர்களுக்கும் சமத்துவத்துடன் |<x,y>| >= ||x|| ||y||
- b|<x,y>| = (||x|| + ||y||) / 2 for all unit vectors in the Hilbert space — ஹில்பர்ட் வெளியில் உள்ள அனைத்து அலகு வெக்டர்களுக்கும் |<x,y>| = (||x|| + ||y||) / 2
- c|<x,y>|^2 <= ||x|| + ||y||, with equality for normalized basis vectors — தரப்படுத்தப்பட்ட அடிப்படை வெக்டர்களுக்கு சமத்துவத்துடன் |<x,y>|^2 <= ||x|| + ||y||
- d|<x,y>| <= ||x|| ||y||, with equality if and only if x and y are linearly dependent — |<x,y>| <= ||x|| ||y||, x மற்றும் y நேரியல் சார்ந்ததாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவம்✓ Correct
Explanation
It is the special case p = q = 2 of Holder inequality and is what makes the inner product continuous in each variable.
இது ஹோல்டர் சமத்துவமின்மையின் சிறப்பு வழக்கு p = q = 2 மற்றும் ஒவ்வொரு மாறியிலும் உள் தயாரிப்பு தொடர்கிறது.
Q3Easy
The polarisation identity is important because it shows that:
துருவமுனைப்பு அடையாளம் முக்கியமானது, ஏனெனில் இது காட்டுகிறது:
- aThe norm is always 1 — விதிமுறை எப்போதும் 1
- bThe inner product is completely determined by the norm — உள் தயாரிப்பு முற்றிலும் விதிமுறை மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது✓ Correct
- cHilbert spaces are finite dimensional — ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும்
- dEvery norm comes from an inner product — ஒவ்வொரு விதிமுறையும் ஒரு உள் தயாரிப்பிலிருந்து வருகிறது
Explanation
In the real case <x,y> = (||x+y||^2 - ||x-y||^2)/4. Combined with the Jordan-von Neumann theorem, a norm comes from an inner product exactly when the parallelogram law holds.
உண்மையான வழக்கில் <x,y> = (||x+y||^2 - ||x-y||^2)/4. ஜோர்டான்-வான் நியூமன் தேற்றத்துடன் இணைந்து, இணையான சட்டத்தை வைத்திருக்கும் போது, ஒரு நெறியானது ஒரு உள் தயாரிப்பிலிருந்து வருகிறது.
Q4Easy
Which of the following is NOT a Hilbert space?
பின்வருவனவற்றில் எது ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் அல்ல?
- aL^2[0,1] — L^2 [0,1]
- bl^2
- cl^3 with its usual norm — l^3 அதன் வழக்கமான விதிமுறைகளுடன்✓ Correct
- dC^n with the Euclidean inner product — யூக்ளிடியன் உள் தயாரிப்புடன் C^n
Explanation
l^p is a Hilbert space only for p = 2, since only then does the parallelogram law hold. l^3 is Banach but not Hilbert.
l^p என்பது p = 2 க்கு மட்டும் ஒரு ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் ஆகும், அதன் பிறகுதான் இணையான வரைபடம் இருக்கும். l^3 என்பது பனாச் ஆனால் ஹில்பர்ட் அல்ல.
Q5Easy
The Pythagorean theorem in a Hilbert space states that if x and y are orthogonal then:
ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் உள்ள பித்தகோரியன் தேற்றம் x மற்றும் y ஆர்த்தோகனல் என்றால்:
- a||x + y||^2 = ||x||^2 - ||y||^2
- b<x,y> = 1
- c||x + y|| = ||x|| + ||y||
- d||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2✓ Correct
Explanation
Expanding ||x+y||^2 = ||x||^2 + 2 Re<x,y> + ||y||^2 and using <x,y> = 0. In the real case the converse also holds; in the complex case it requires Re<x,y> = 0 only.
விரிவடைகிறது ||x+y||^2 = ||x||^2 + 2 Re<x,y> + ||y||^2 மற்றும் <x,y> = 0 ஐப் பயன்படுத்துகிறது. உண்மையான வழக்கில் உரையாடலும் உள்ளது; சிக்கலான வழக்கில் Re<x,y> = 0 மட்டுமே தேவைப்படுகிறது.
20 more questions on Hilbert Spaces and Orthonormal Bases
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.