Second Fundamental Form and Normal Curvature — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Second Fundamental Form and Normal Curvature, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The second fundamental form of a surface is:

மேற்பரப்பின் இரண்டாவது அடிப்படை வடிவம்:

  1. aII = L^2 du^2 + 2M^2 du dv + N^2 dv^2 measuring Gaussian curvature areas — II = L^2 du^2 + 2M^2 du dv + N^2 dv^2, காசியன் வளைவு பகுதிகளை அளவிடுகிறது
  2. bII = L du^2 + 2M du dv + N dv^2, with L = r_uu . N, M = r_uv . N, N_coef = r_vv . N — II = L du^2 + 2M du dv + N dv^2, இங்கு L = r_uu . N, M = r_uv . N, N_coef = r_vv . N✓ Correct
  3. cII = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 representing intrinsic metric distances — II = E du^2 + 2F du dv + G dv^2, உள்ளார்ந்த அளவீட்டு தூரங்களைக் குறிக்கிறது
  4. dII = L du^2 + M du dv + N dv^2, with L = r_u . r_u, M = r_u . r_v, N_coef = r_v . r_v — II = L du^2 + M du dv + N dv^2, இங்கு L = r_u . r_u, M = r_u . r_v, N_coef = r_v . r_v

Explanation

It measures how the surface bends away from its tangent plane, and unlike the first fundamental form it is extrinsic -- it depends on the embedding in space.

மேற்பரப்பு அதன் தொடுகோடு விமானத்திலிருந்து எவ்வாறு வளைகிறது என்பதை இது அளவிடுகிறது, மேலும் முதல் அடிப்படை வடிவத்தைப் போலல்லாமல் அது வெளிப்புறமானது -- இது விண்வெளியில் உட்பொதிப்பதைப் பொறுத்தது.

Q2Easy

The second fundamental form measures:

இரண்டாவது அடிப்படை வடிவம் நடவடிக்கைகள்:

  1. aRate of change of unit normal, equivalently deviation of surface from its tangent plane — அலகு செங்குத்தின் மாறுபாட்டு விகிதம், சமமாக தொடுகோட்டுத் தளத்திலிருந்து மேற்பரப்பின் விலகல்✓ Correct
  2. bRate of change of arc length along coordinate parameter curves — ஆய அளவுரு வளைவுகள் நெடுகிலும் வில்லின் நீளத்தின் மாறுபாட்டு விகிதம்
  3. cTotal variation of the first fundamental metric tensor determinant — முதல் அடிப்படை அளவீட்டு டென்சார் அணிக்கோவையின் மொத்த மாறுபாடு
  4. dConformal angle distortion induced by stereographic projection — ஸ்டீரியோகிராஃபிக் திட்டமிடலால் தூண்டப்பட்ட இணக்கமான கோண உருக்குலைவு

Explanation

Equivalently II(w, w) is twice the second-order term in the height of the surface above the tangent plane in the direction w.

சமமாக II(w, w) என்பது, w திசையில் உள்ள தொடுவானத் தளத்திற்கு மேலே உள்ள மேற்பரப்பின் உயரத்தில் உள்ள இரண்டாவது வரிசைச் சொல்லின் இருமடங்கு ஆகும்.

Q3Easy

The normal curvature of a surface in a tangent direction (du, dv) is:

தொடு திசையில் (du, dv) மேற்பரப்பின் இயல்பான வளைவு:

  1. akappa_n = I / II = (E du^2 + 2F du dv + G dv^2) / (L du^2 + 2M du dv + N dv^2)
  2. bkappa_n = sqrt(LN - M^2) / sqrt(EG - F^2) across all tangent directions — அனைத்து தொடுகோட்டு திசைகளிலும் kappa_n = sqrt(LN - M^2) / sqrt(EG - F^2)
  3. ckappa_n = (L du + N dv) / sqrt(E du^2 + G dv^2) along geodesic rays — புவிசார் கதிர்கள் நெடுகிலும் kappa_n = (L du + N dv) / sqrt(E du^2 + G dv^2)
  4. dkappa_n = II / I = (L du^2 + 2M du dv + N dv^2) / (E du^2 + 2F du dv + G dv^2)✓ Correct

Explanation

It depends only on the direction, not on which curve through the point is chosen with that tangent -- the content of Meusnier theorem.

இது திசையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, புள்ளியின் வழியாக எந்த வளைவு அந்த தொடுகோடு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது என்பதில் அல்ல -- மியூஸ்னியர் தேற்றத்தின் உள்ளடக்கம்.

Q4Easy

Meusnier theorem states that all curves on a surface through a point with the same tangent direction have:

மியூஸ்னியர் தேற்றம், ஒரே தொடு திசையைக் கொண்ட ஒரு புள்ளியின் வழியாக மேற்பரப்பில் உள்ள அனைத்து வளைவுகளும் பின்வருமாறு கூறுகிறது:

  1. aIdentical geodesic curvature, with kappa * sin(theta) = kappa_g along tangents — ஒரே மாதிரியான புவிசார் வளைவு, தொடுகோடுகளில் kappa * sin(theta) = kappa_g உடன்
  2. bThe same normal curvature, with kappa * cos(theta) = kappa_n where theta is normal inclination — அதே செங்குத்து வளைவு, kappa * cos(theta) = kappa_n உடன், இங்கு theta என்பது செங்குத்து சாய்வு✓ Correct
  3. cProportional arc lengths bounded strictly by the principal radius of curvature — முதன்மை வளைவு ஆரத்தால் கண்டிப்பாக வரம்பிடப்பட்ட விகிதாசார வில் நீளங்கள்
  4. dConstant torsion tau vanishing identically along all intersection curves — அனைத்து வெட்டு வளைவுகள் நெடுகிலும் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியமாகும் நிலையான முறுக்கம் tau

Explanation

Consequently the osculating circles of all such curves lie on a sphere. The normal section, cut by the plane containing N, realises the normal curvature directly.

இதன் விளைவாக, அத்தகைய அனைத்து வளைவுகளின் ஊசலாடும் வட்டங்கள் ஒரு கோளத்தில் உள்ளன. N கொண்ட விமானத்தால் வெட்டப்பட்ட சாதாரண பகுதி, சாதாரண வளைவை நேரடியாக உணர்கிறது.

Q5Easy

The principal curvatures k1 and k2 at a point are:

ஒரு புள்ளியில் முக்கிய வளைவுகள் k1 மற்றும் k2:

  1. aThe real and imaginary parts of the complex Gauss map derivative eigenvalues — சிக்கலெண் காஸ் வரைபட வகைக்கெழு ஐகன் மதிப்புகளின் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள்
  2. bThe asymptotic curvature limits attained along envelope inflection boundaries — உறை வளைவு மாற்ற எல்லைகளில் பெறப்பட்ட அணுகுமுறை வளைவு வரம்புகள்
  3. cThe maximum and minimum values of normal curvature over all tangent directions — அனைத்து தொடுகோட்டு திசைகளிலும் செங்குத்து வளைவின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகள்✓ Correct
  4. dThe values of geodesic curvature along coordinate lines u = const and v = const — ஆயக் கோடுகள் u = const மற்றும் v = const நெடுகிலும் புவிசார் வளைவின் மதிப்புகள்

Explanation

They are the eigenvalues of the shape operator. The corresponding eigendirections are the principal directions.

அவை வடிவ ஆபரேட்டரின் சம மதிப்புகள். தொடர்புடைய ஈஜென் திசைகள் முக்கிய திசைகள்.

20 more questions on Second Fundamental Form and Normal Curvature

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing