Q1Easy
A basis of a vector space V is a set of vectors that is:
வெக்டர் ஸ்பேஸ் V இன் அடிப்படையானது வெக்டர்களின் தொகுப்பாகும்:
- aThe largest linearly independent set — மிகப்பெரிய நேரியல் சார்பற்ற தொகுப்பு
- bOrthogonal only — ஆர்த்தோகனல் மட்டுமே
- cLinearly dependent and spans V — நேரியல் சார்ந்து மற்றும் விரிந்துள்ள V
- dLinearly independent and spans V — நேரியல் சார்பற்றது மற்றும் வி✓ Correct
Explanation
A basis is a linearly independent spanning set. Every vector in V can be uniquely expressed as a linear combination of basis vectors.
ஒரு அடிப்படை என்பது நேரியல் சார்பற்ற பரந்து விரிந்த தொகுப்பாகும். V இல் உள்ள ஒவ்வொரு திசையனையும் அடிப்படை திசையன்களின் நேரியல் கலவையாக தனித்துவமாக வெளிப்படுத்தலாம்.
Q2Easy
The dimension of the vector space Mₘₓₙ(ℝ) of all m×n real matrices is:
அனைத்து m×n உண்மையான மெட்ரிக்குகளின் திசையன் இடத்தின் Mₘₓₙ(ℝ) பரிமாணம்:
- amax(m,n)
- bmn✓ Correct
- cm · n − 1 — m · n - 1
- dm + n — மீ + என்
Explanation
The standard basis consists of matrices Eᵢⱼ with 1 in position (i,j) and 0 elsewhere. There are mn such matrices, so dim(Mₘₓₙ) = mn.
நிலையான அடிப்படையில் Eᵢⱼ 1 நிலையில் (i,j) மற்றும் 0 மற்ற இடங்களில் உள்ளது. அத்தகைய மெட்ரிக்குகள் உள்ளன, எனவே dim(Mₘₓₙ) = mn.
Q3Easy
The dimension of the polynomial space Pₙ = {polynomials of degree ≤ n} is:
பல்லுறுப்புக்கோவை இடத்தின் பரிமாணம் Pₙ = {பலகோமைகள் பட்டம் ≤ n}:
- an + 1✓ Correct
- bn
- cn − 1 — n - 1
- d2n
Explanation
The standard basis {1, x, x², ..., xⁿ} has n+1 elements. So dim(Pₙ) = n+1.
நிலையான அடிப்படை {1, x, x², ..., xⁿ} n+1 கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே dim(Pₙ) = n+1.
Q4Easy
If B = {v₁, v₂, v₃} is a basis for V, and v = 2v₁ − 3v₂ + v₃, then the coordinate vector of v with respect to B is:
B = {v₁, v₂, v₃} என்பது Vக்கு அடிப்படையாகவும், v = 2v₁ − 3v₂ + v₃ என்றால், B ஐப் பொறுத்தவரை v இன் ஒருங்கிணைப்பு திசையன்:
- a(2, 3, −1)
- b(2, −3, 1)✓ Correct
- c(−3, 2, 1)
- d(1, −3, 2)
Explanation
The coordinate vector [v]_B = (c₁, c₂, c₃) where v = c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃. Here [v]_B = (2, −3, 1).
ஒருங்கிணைப்பு திசையன் [v]_B = (c₁, c₂, c₃) இதில் v = c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃. இங்கே [v]_B = (2, −3, 1).
Q5Easy
If V has dimension n, then any set of n linearly independent vectors in V:
V இல் பரிமாணம் n இருந்தால், V இல் உள்ள n நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் தொகுப்பு:
- aIs a basis for V — விக்கு ஒரு அடிப்படை✓ Correct
- bHas dimension n−1 — பரிமாணம் n−1 உள்ளது
- cMust contain the zero vector — பூஜ்ஜிய வெக்டரைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்
- dSpans only a subspace of V — V இன் துணைவெளியில் மட்டுமே பரவுகிறது
Explanation
In a vector space of dimension n: any n linearly independent vectors form a basis, and any spanning set of n vectors is a basis. (These are equivalent characterizations.)
பரிமாணத்தின் ஒரு திசையன் இடத்தில் n: எந்த n நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களும் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, மேலும் n திசையன்களின் எந்தவொரு பரந்த தொகுப்பும் ஒரு அடிப்படையாகும். (இவை சமமான குணாதிசயங்கள்.)
20 more questions on Basis and Dimension
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.