Metric Spaces and Topology — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Metric Spaces and Topology, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A metric on X is a function d: X x X -> [0,inf) satisfying: d(x,y)=0 iff x=y; d(x,y)=d(y,x); and:

X இல் ஒரு மெட்ரிக் ஒரு செயல்பாடு d: X x X -> [0,inf) திருப்தி அளிக்கிறது: d(x,y) =0 iff x=y; d(x,y) = d(y,x) ; மற்றும்:

  1. ad(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) (triangle inequality) — d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) (முக்கோண சமத்துவமின்மை)✓ Correct
  2. bd(x,y) <= 1
  3. cd(x,y) is differentiable — d(x,y) வேறுபடுத்தக்கூடியது
  4. dd(x,y) >= 1 for x!=y — x!=yக்கு d(x,y) >= 1

Explanation

Triangle inequality: d(x,z) <= d(x,y)+d(y,z). A metric induces a topology: basis of open balls B(x,r)={y: d(x,y)<r}. The topology is Hausdorff and first countable (balls of radius 1/n form a countable basis at x). Every metric space is metrizable (trivially) and regular, normal.

முக்கோண சமத்துவமின்மை: d(x,z) <= d(x,y)0 + d(x,y)1 . ஒரு மெட்ரிக் ஒரு இடவியலைத் தூண்டுகிறது: திறந்த பந்துகளின் அடிப்படை d(x,y)2 ={y: d(x,y)3 <r}. இடவியல் ஹவுஸ்டோர்ஃப் மற்றும் முதலில் கணக்கிடக்கூடியது (1/n ஆரம் கொண்ட பந்துகள் x இல் கணக்கிடக்கூடிய அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன). ஒவ்வொரு மெட்ரிக் இடமும் அளவிடக்கூடியது (அற்பமானது) மற்றும் வழக்கமானது, சாதாரணமானது.

Q2Easy

A metric space is complete if every Cauchy sequence converges. A Cauchy sequence is one where:

ஒவ்வொரு Cauchy வரிசையும் ஒன்றிணைந்தால் ஒரு மெட்ரிக் இடைவெளி நிறைவடையும். Cauchy வரிசை என்பது இங்கு ஒன்றாகும்:

  1. aFor every epsilon>0 there exists N such that for m,n>N: d(x_m, x_n)<epsilon — ஒவ்வொரு epsilon>0 க்கும் N உள்ளது, அதாவது m,n>N: d(x_m, x_n) <epsilon✓ Correct
  2. bThe sequence is bounded — வரிசை கட்டப்பட்டுள்ளது
  3. cThe sequence is monotone — வரிசை மோனோடோன்
  4. dThe sequence converges to 0 — வரிசை 0 ஆக இணைகிறது

Explanation

Cauchy: d(x_m,x_n)->0 as m,n->inf. Completeness: every Cauchy sequence converges to a limit IN the space. R is complete. Q is NOT complete (e.g., sequence 3, 3.1, 3.14, 3.141,... converges to pi which is not in Q). Every compact metric space is complete. Every complete metric space is a Baire space.

Cauchy: d(x_m,x_n) ->0 என m,n->inf. முழுமை: ஒவ்வொரு Cauchy வரிசையும் இடைவெளியில் ஒரு வரம்பிற்கு இணைகிறது. ஆர் முழுமையானது. Q முழுமையடையவில்லை (எ.கா., வரிசை 3, 3.1 , 3.14 , 3.141 ,... Q இல் இல்லாத pi க்கு ஒன்றிணைகிறது). ஒவ்வொரு சிறிய மெட்ரிக் இடமும் முடிந்தது. ஒவ்வொரு முழுமையான மெட்ரிக் இடமும் ஒரு Baire இடமாகும்.

Q3Easy

Baire Category Theorem: a complete metric space is of the second category (Baire space). This means:

Baire Category Theorem: a complete metric space is of the second category (Baire space). இதன் பொருள்:

  1. aThe space is compact — இடம் கச்சிதமானது
  2. bEvery closed set has interior — ஒவ்வொரு மூடிய தொகுப்பிலும் உட்புறம் உள்ளது
  3. cThe space is countable
  4. dA countable intersection of open dense sets is dense (equivalently, the space is not a countable union of nowhere-dense sets)✓ Correct

Explanation

Baire: in a complete metric space (or locally compact Hausdorff space), countable intersections of dense open sets are dense. Equivalently: X is NOT a countable union of nowhere-dense sets (sets whose closure has empty interior). Applications: existence of continuous nowhere-differentiable functions; Picard-Banach fixed point; generic properties.

Baire: in a complete metric space (or locally compact Hausdorff space), countable intersections of dense open sets are dense. Equivalently: X is NOT a countable union of nowhere-dense sets (sets whose closure has empty interior). Applications: existence of continuous nowhere-differentiable functions; பிகார்ட்-பனாச் நிலையான புள்ளி; generic properties.

Q4Easy

Banach fixed point theorem: a contraction map f: X -> X on a complete metric space (d(f(x),f(y)) <= k*d(x,y), 0<k<1) has:

பனாச் நிலையான புள்ளி தேற்றம்: ஒரு சுருக்க வரைபடம் f: X -> X ஒரு முழுமையான மெட்ரிக் இடத்தில் (d(f(x) , f(y) ) <= k* d(x,y) , 0<k<1) உள்ளது:

  1. aA unique fixed point, and the iteration x_{n+1}=f(x_n) converges to it for any starting x_0 — ஒரு தனித்துவமான நிலையான புள்ளி, மற்றும் மறு செய்கை x_{n+1}= f(x_n) எந்த தொடக்கத்திலும் x_0 உடன் இணைகிறது✓ Correct
  2. bA fixed point only if X is compact
  3. cFinitely many fixed points
  4. dNo fixed points — நிலையான புள்ளிகள் இல்லை

Explanation

Banach contraction: (1) Unique fixed point: if f(x*)=x* and f(y*)=y*, then d(x*,y*)=d(f(x*),f(y*))<=k*d(x*,y*), so (1-k)d(x*,y*)<=0, hence d(x*,y*)=0. (2) Convergence: d(x_n,x*) <= k^n/(1-k)*d(x_1,x_0). Applications: ODEs (Picard-Lindel"of), PDEs, numerical methods.

Banach contraction: (1) Unique fixed point: if f(x*) =x* and f(y*) =y*, then d(x*,y*) = d(f(x*) , f(y*) )<=k* d(x*,y*) , so (1-k) f(y)0 <=0, hence f(y)1 =0. (2) குவிதல்: f(y)2 <= f(y)3 /(1-k)* f(y)4 . பயன்பாடுகள்: ODEகள் (Picard-Lindel"of), PDEகள், எண் முறைகள்.

Q5Easy

Two metrics d and d' on X are equivalent (topologically) if they generate the same topology. This happens iff:

X இல் இரண்டு அளவீடுகள் d மற்றும் d' ஒரே இடவியலை உருவாக்கினால் அவை சமமானவை (இடவியல் ரீதியாக). இது நிகழ்கிறது:

  1. aFor each x and epsilon>0, there exists delta>0 such that B_{d'}(x,delta) subset B_d(x,epsilon) and vice versa — ஒவ்வொரு x மற்றும் epsilon>0 க்கும், B_{d'}(x,delta) துணைக்குழு B_d(x,epsilon) மற்றும் நேர்மாறாக டெல்டா>0 உள்ளது✓ Correct
  2. bd=d' everywhere — d=d' எல்லா இடங்களிலும்
  3. cd/d' is bounded — d/d' வரம்பிடப்பட்டுள்ளது
  4. dBoth metrics are complete — இரண்டு அளவீடுகளும் முடிந்தது

Explanation

Equivalent metrics: the identity map (X,d) -> (X,d') is a homeomorphism. Example: d(x,y) = |x-y| and d'(x,y) = |x-y|/(1+|x-y|) are equivalent on R (same open sets) but d' is bounded and d is not. d and d' being equivalent does NOT imply one is complete iff the other is (completeness is NOT a topological property).

சமமான அளவீடுகள்: அடையாள வரைபடம் (X,d) -> (X,d') ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும். எடுத்துக்காட்டு: d(x,y) = |x-y| மற்றும் d'(x,y) = |x-y|/(1+|x-y|) R இல் சமமானவை (அதே திறந்த தொகுப்புகள்) ஆனால் d' வரம்பிற்குட்பட்டது மற்றும் d அல்ல. d மற்றும் d' சமமாக இருப்பது ஒன்று முழுமையானதாக இருந்தால் மற்றொன்று முழுமையடைவதைக் குறிக்காது (முழுமை என்பது இடவியல் பண்பு அல்ல).

20 more questions on Metric Spaces and Topology

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing