Q1Easy
A topological space X is compact if:
ஒரு இடவியல் ஸ்பேஸ் எக்ஸ் கச்சிதமாக இருந்தால்:
- aX is complete — X முடிந்தது
- bEvery sequence has a convergent subsequence — ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் ஒரு குவிந்த பின்தொடர் உள்ளது
- cX is closed and bounded — X மூடப்பட்டு வரம்புக்குட்பட்டது
- dEvery open cover of X has a finite subcover — X இன் ஒவ்வொரு திறந்த அட்டையிலும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை உறை உள்ளது✓ Correct
Explanation
Compact: every open cover {U_alpha} of X has a finite subcover {U_1,...,U_n}. In metric spaces: compact iff sequentially compact (every sequence has convergent subsequence). Heine-Borel: compact in R^n iff closed and bounded. In general topology, these three notions differ.
கச்சிதமானது: X இன் ஒவ்வொரு திறந்த அட்டையும் {U_alpha} ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட துணை அட்டையைக் கொண்டுள்ளது {U_1,...,U_n}. மெட்ரிக் இடைவெளிகளில்: காம்பாக்ட் IF வரிசையாக கச்சிதமானது (ஒவ்வொரு வரிசையும் ஒன்றிணைந்த பின்தொடர்வைக் கொண்டுள்ளது). ஹெய்ன்-போரல்: R^n இல் கச்சிதமானது மூடப்பட்டு வரம்பில் உள்ளது. பொது இடவியலில், இந்த மூன்று கருத்துகளும் வேறுபடுகின்றன.
Q2Easy
Heine-Borel theorem: a subset A of R^n is compact if and only if:
ஹெய்ன்-போரல் தேற்றம்: R^n இன் துணைத்தொகுப்பு A சிறியதாக இருந்தால் மற்றும் பின்வருபவை இருந்தால் மட்டுமே:
- aThe space X is bounded and contains all of its boundary points — வெளி X வரம்புடையது மற்றும் அதன் அனைத்து எல்லைப் புள்ளிகளையும் கொண்டுள்ளது
- bEvery infinite sequence in X has a uniquely determined limit — X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு முடிவிலி வரிசையும் ஒரு தனித்துவமான எல்லையைக் கொண்டுள்ளது
- cEvery open cover of X contains a finite subcover — X-ன் ஒவ்வொரு திறந்த மூடியும் ஒரு முடிவுறு துணை மூடியைக் கொண்டுள்ளது✓ Correct
- dEvery continuous real-valued function on X is identically zero — X மீதான ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான மெய்-மதிப்பு சார்பும் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியமாகும்
Explanation
Heine-Borel: in R^n (with Euclidean metric), compact <=> closed and bounded. This fails in general metric spaces: [0,1] in R is compact, but the same set with a bounded metric (like d'(x,y)=min(d(x,y),1)) may still be compact or not. In infinite-dimensional Banach spaces, closed bounded sets are generally NOT compact.
ஹெய்ன்-போரல்: R^n இல் (யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் உடன்), கச்சிதமான <=> மூடப்பட்டு வரம்புக்குட்பட்டது. இது பொதுவான மெட்ரிக் இடைவெளிகளில் தோல்வியடைகிறது: [0,1] R இல் கச்சிதமானது, ஆனால் வரம்புக்குட்பட்ட மெட்ரிக் (d'(x,y)= min(d(x,y) ,1) போன்ற அதே தொகுப்பு இன்னும் கச்சிதமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். எல்லையற்ற பரிமாண பனாச் இடைவெளிகளில், மூடிய எல்லைகள் கொண்ட தொகுப்புகள் பொதுவாக கச்சிதமாக இருக்காது.
Q3Easy
A continuous image of a compact space is:
ஒரு சிறிய இடத்தின் தொடர்ச்சியான படம்:
- aDense — அடர்த்தியானது
- bConnected — இணைக்கப்பட்டது
- cOpen — திற
- dCompact — கச்சிதமான✓ Correct
Explanation
Continuous image of compact is compact: if f: X -> Y continuous and X compact, then f(X) is compact. Proof: if {V_alpha} covers f(X), then {f^{-1}(V_alpha)} covers X (by continuity); finite subcover gives finite subcover of f(X). Corollary: continuous f: X -> R on compact X attains its max and min (Extreme Value Theorem).
காம்பாக்டின் தொடர்ச்சியான படம் கச்சிதமானது: f: X -> Y தொடர்ச்சி மற்றும் X சுருக்கமாக இருந்தால், f(X) கச்சிதமானது. ஆதாரம்: {V_alpha} ஆனது f(X) ஐ உள்ளடக்கியிருந்தால், {f^{-1}(V_alpha)} Xஐ உள்ளடக்கியது (தொடர்ச்சியால்); finite subcover ஆனது f(X) இன் finite subcoverஐ அளிக்கிறது. தொடர்ச்சி: காம்பாக்ட் X இல் தொடர்ச்சியான f: X -> R அதன் அதிகபட்சம் மற்றும் நிமிடத்தை அடைகிறது (அதிக மதிப்பு தேற்றம்).
Q4Easy
In a Hausdorff space, every compact subset is:
ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடத்தில், ஒவ்வொரு சிறிய துணைக்குழுவும்:
- aOpen — திற
- bClosed — மூடப்பட்டது✓ Correct
- cA singleton — ஒரு சிங்கிள்டன்
- dDense — அடர்த்தியானது
Explanation
Compact subset of Hausdorff is closed: for any y not in compact K, separate each x in K from y by disjoint opens U_x, V_x. Finitely many U_x cover K; intersect the corresponding V_x to get a neighborhood of y disjoint from K. So X\K is open, K is closed. Converse fails: [0,1] is closed in [0,2], and [0,2] is compact but not Hausdorff-independent.
Hausdorff இன் காம்பாக்ட் துணைக்குழு மூடப்பட்டது: சிறிய K இல் இல்லாத எந்த y க்கும், U_x, V_x திறக்கும் இணைப்பின் மூலம் K இல் உள்ள ஒவ்வொரு x ஐயும் y இலிருந்து பிரிக்கவும். பல U_x கவர் K; K இலிருந்து y disjoint இன் அருகாமையைப் பெற தொடர்புடைய V_x ஐ வெட்டுங்கள். எனவே X\K திறந்திருக்கும், K மூடப்பட்டது. உரையாடல் தோல்வி: [0,1] [0,2] இல் மூடப்பட்டுள்ளது, மேலும் [0,2] கச்சிதமானது ஆனால் ஹவுஸ்டோர்ஃப்-சுயாதீனமானது அல்ல.
Q5Easy
Tube lemma: if X is compact and V is an open set in X x Y containing X x {y_0}, then there exists an open set W in Y with y_0 in W such that:
ட்யூப் லெம்மா: X என்பது கச்சிதமானதாகவும், V என்பது X x Y இல் X x {y_0} ஐக் கொண்ட திறந்த அமைப்பாகவும் இருந்தால், W இல் y_0 உடன் Y இல் திறந்த தொகுப்பு W உள்ளது:
- aSubsets of ℝⁿ that can be represented as finite unions of lines — கோடுகளின் முடிவுறு சேர்ப்புகளாகக் குறிப்பிடக்கூடிய ℝⁿ-ன் உட்கணங்கள்
- bClosed and bounded subsets of ℝⁿ (Heine-Borel theorem) — ℝⁿ-ன் மூடிய மற்றும் வரம்புடைய உட்கணங்கள் (ஹைன்-போரல் தேற்றம்)✓ Correct
- cAll countable subsets of ℝⁿ with isolated points — தனித்த புள்ளிகள் கொண்ட ℝⁿ-ன் அனைத்து எண்ணத்தக்க உட்கணங்களும்
- dOpen and bounded subsets of Euclidean space ℝⁿ — யூக்ளிடிய வெளி ℝⁿ-ன் திறந்த மற்றும் வரம்புடைய உட்கணங்கள்
Explanation
Tube lemma: V contains X x {y_0}, so for each x in X there is an open U_x x W_x subset V. Finitely many U_x cover X (compact). The finite intersection W = W_{x_1} intersect ... intersect W_{x_n} is a "tube" around y_0 with X x W subset V. Used to prove: product of two compact spaces is compact.
டியூப் லெம்மா: V இல் X x {y_0} உள்ளது, எனவே X இல் உள்ள ஒவ்வொரு xக்கும் திறந்த U_x x W_x துணைக்குழு V உள்ளது. பல U_x கவர் X (கச்சிதமானது). வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டு W = W_{x_1} வெட்டும் ... வெட்டும் W_{x_n} என்பது X x W துணைக்குழு V உடன் y_0 ஐச் சுற்றியுள்ள "குழாய்" ஆகும். நிரூபிக்கப் பயன்படுகிறது: இரண்டு சிறிய இடைவெளிகளின் தயாரிப்பு கச்சிதமானது.
20 more questions on Compactness
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.