Q1Easy
A sequence (xₙ) converges to L if for every ε > 0, there exists N such that for all n > N:
ஒவ்வொரு ε > 0 க்கும், n > N அனைத்திற்கும் N இருந்தால், ஒரு வரிசை (xₙ) L ஆக ஒன்றிணைகிறது:
- a|xₙ| < ε
- b|xₙ − L| < ε✓ Correct
- cxₙ > L — xₙ > எல்
- d|xₙ − L| > ε
Explanation
ε-N definition: xₙ → L iff ∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n>N: |xₙ−L| < ε. The N depends on ε (smaller ε requires larger N in general).
ε-N வரையறை: xₙ → L iff ∀ε>0, ∃N∈ℕ, ∀n>N: |xₙ−L| < ε. N ஆனது ε ஐச் சார்ந்தது (சிறிய ε க்கு பொதுவாக பெரிய N தேவைப்படுகிறது).
Q2Easy
The Monotone Convergence Theorem states: a monotone bounded sequence:
மோனோடோன் கன்வெர்ஜென்ஸ் தேற்றம் கூறுகிறது: ஒரு மோனோடோன் எல்லைக்குட்பட்ட வரிசை:
- aDiverges to infinity — முடிவிலிக்கு மாறுகிறது
- bConverges — சங்கமிக்கிறது✓ Correct
- cIs a Cauchy sequence only — ஒரு Cauchy வரிசை மட்டுமே
- dIs eventually constant — இறுதியில் நிலையானது
Explanation
Every bounded monotone sequence converges: if increasing and bounded above, it converges to its supremum; if decreasing and bounded below, it converges to its infimum.
ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட மோனோடோன் வரிசையும் ஒன்றிணைகிறது: அதிகரித்து மற்றும் மேலே வரம்புக்குட்பட்டால், அது அதன் உச்சநிலைக்கு இணைகிறது; குறைந்து கீழே வரம்பிடப்பட்டால், அது அதன் இயலாமைக்கு இணைகிறது.
Q3Easy
lim_{n→∞} (1 + 1/n)ⁿ =
- a2
- b1
- ce — இ✓ Correct
- d∞
Explanation
lim_{n→∞}(1+1/n)ⁿ = e ≈ 2.71828... This is one definition of Euler's number e. Generalization: lim(1+x/n)ⁿ = eˣ.
lim_{n→∞}(1+1/n)ⁿ = e ≈ 2.71828 ... இது யூலரின் எண்ணின் ஒரு வரையறை e. பொதுமைப்படுத்தல்: lim(1+x/n) ⁿ = eˣ.
Q4Easy
If (xₙ) converges to L, then every subsequence:
(xₙ) L ஆக ஒன்றிணைந்தால், ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும்:
- aIs bounded only — வரம்புக்குட்பட்டது மட்டுமே
- bAlso converges to L — L ஆகவும் இணைகிறது✓ Correct
- cMay converge to a different limit — வேறு வரம்பிற்குச் செல்லலாம்
- dDiverges — வேறுபடுகிறது
Explanation
If xₙ→L and (xₙₖ) is any subsequence, then xₙₖ→L as k→∞. Conversely, if a sequence has two subsequences converging to different limits, the sequence diverges.
xₙ→L மற்றும் (xₙₖ) ஏதேனும் பின்தொடர்வாக இருந்தால், xₙₖ→L என்பது k→∞ ஆக இருக்கும். மாறாக, ஒரு வரிசையானது வெவ்வேறு வரம்புகளுக்குச் செல்லும் இரண்டு தொடர்களைக் கொண்டிருந்தால், வரிசை வேறுபட்டது.
Q5Easy
A sequence (xₙ) is Cauchy if for every ε > 0, there exists N such that for all m, n > N:
ஒரு வரிசை (xₙ) Cauchy ஆகும், ஒவ்வொரு ε > 0 க்கும், எல்லா m, n > Nக்கும் N இருந்தால்:
- a|xₙ + xₘ| < ε
- b|xₙ| < ε
- c|xₙ − xₘ| < ε✓ Correct
- dxₙ > xₘ
Explanation
(xₙ) is Cauchy iff ∀ε>0, ∃N, ∀m,n>N: |xₙ−xₘ|<ε. In ℝ, Cauchy ⟺ convergent (completeness). Cauchy criterion lets us prove convergence without knowing the limit.
(xₙ) என்பது Cauchy iff ∀ε>0, ∃N, ∀m,n>N: |xₙ−xₘ|<ε. ℝ இல், Cauchy ⟺ குவிந்து (முழுமை). Cauchy அளவுகோல் வரம்பு தெரியாமல் ஒன்றிணைவதை நிரூபிக்க உதவுகிறது.
20 more questions on Sequences
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.