Q1Easy
A PDE involves partial derivatives of an unknown function of two or more variables. The ORDER of a PDE is:
ஒரு PDE இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் அறியப்படாத செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்களை உள்ளடக்கியது. PDE இன் ஆர்டர்:
- aThe degree of the equation — சமன்பாட்டின் அளவு
- bThe number of variables — மாறிகளின் எண்ணிக்கை
- cThe number of terms — விதிமுறைகளின் எண்ணிக்கை
- dThe order of the highest partial derivative appearing in the equation — சமன்பாட்டில் தோன்றும் மிக உயர்ந்த பகுதி வழித்தோன்றலின் வரிசை✓ Correct
Explanation
The order of a PDE is determined by the highest-order partial derivative. Example: u_t = k*u_xx is 2nd order (u_xx has two x-derivatives). The PDE u_x + u_y = 0 is 1st order.
PDE இன் வரிசையானது மிக உயர்ந்த வரிசை பகுதி வழித்தோன்றலால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: u_t = k*u_xx என்பது 2வது வரிசை (u_xx இரண்டு x-வழித்தோன்றல்கள் கொண்டது). PDE u_x + u_y = 0 என்பது 1வது வரிசை.
Q2Easy
A PDE F(x,y,u,u_x,u_y,u_xx,...) = 0 is LINEAR if:
ஒரு PDE F(x,y,u,u_x,u_y,u_xx,...) = 0 என்பது நேரியல் என்றால்:
- aF is linear in u and all its partial derivatives (no products or powers of u or its derivatives) — F என்பது u மற்றும் அதன் அனைத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களிலும் நேரியல்✓ Correct
- bAll coefficients are constants — அனைத்து குணகங்களும் மாறிலிகள்
- cu depends on one variable — u ஒரு மாறியைப் பொறுத்தது
- dF is a polynomial in x,y — F என்பது x,y இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்
Explanation
Linear PDE: the unknown u and its derivatives appear linearly (no products like u*u_x, no u^2, etc.). Examples: u_t = ku_xx (heat, linear), u_tt = c^2 u_xx (wave, linear). Nonlinear: u_t + u*u_x = 0 (Burgers, nonlinear due to u*u_x).
லீனியர் PDE: தெரியாத u மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் நேர்கோட்டில் தோன்றும் (u*u_x, u^2 போன்ற தயாரிப்புகள் எதுவும் இல்லை). எடுத்துக்காட்டுகள்: u_t = ku_xx (வெப்பம், நேரியல்), u_tt = c^2 u_xx (அலை, நேரியல்). நேரியல் அல்லாத: u_t + u*u_x = 0 (பர்கர்கள், u*u_x காரணமாக நேரியல் அல்லாதவை).
Q3Easy
A problem is well-posed (Hadamard) if it has: (i) a solution exists, (ii) the solution is unique, and (iii):
ஒரு சிக்கல் நன்கு முன்வைக்கப்படுகிறது (ஹடமார்ட்) அது இருந்தால்: (i) ஒரு தீர்வு உள்ளது, (ii) தீர்வு தனித்துவமானது, மற்றும் (iii):
- aThe solution depends continuously on the initial/boundary data (stability) — தீர்வு தொடக்க/எல்லைத் தரவை தொடர்ச்சியாகச் சார்ந்துள்ளது (நிலைத்தன்மை)✓ Correct
- bThe solution is real analytic everywhere in the interior — தீர்வு உட்புறத்தில் எங்கும் மெய் பகுமுறை சார்பாக உள்ளது
- cThe underlying physical domain is bounded and convex — அடிப்படை இயற்பியல் அரங்கம் வரம்புடைய மற்றும் குவிந்ததாக உள்ளது
- dThe differential equation is strictly linear with constant coefficients — வகைக்கெழு சமன்பாடு மாறிலி கெழுக்களுடன் கண்டிப்பான நேரியலானது
Explanation
Hadamard well-posedness: existence + uniqueness + continuous dependence on data. Ill-posed problems (like backward heat equation) may have solutions but small data perturbations cause large solution changes. Most physical problems are well-posed.
ஹடமார்ட் நன்கு போஸ்டுனெஸ்: இருப்பு + தனித்துவம் + தரவை தொடர்ந்து சார்ந்திருத்தல். மோசமான சிக்கல்கள் (பின்தங்கிய வெப்ப சமன்பாடு போன்றவை) தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் சிறிய தரவு இடையூறுகள் பெரிய தீர்வு மாற்றங்களை ஏற்படுத்துகின்றன. பெரும்பாலான உடல் பிரச்சனைகள் நன்றாகவே உள்ளன.
Q4Easy
The three classical types of 2nd order linear PDEs in 2 variables are elliptic, parabolic, and hyperbolic. Which PDE is elliptic?
2 மாறிகளில் உள்ள 2வது வரிசை நேரியல் PDEகளின் மூன்று கிளாசிக்கல் வகைகள் நீள்வட்ட, பரவளைய மற்றும் மிகைப்படுத்தப்பட்டவை. எந்த PDE நீள்வட்டமானது?
- au_tt = u_xx (wave) — u_tt = u_xx (அலை)
- bu_t + u_x = 0 (transport) — u_t + u_x = 0 (போக்குவரத்து)
- cu_t = u_xx (heat) — u_t = u_xx (வெப்பம்)
- du_xx + u_yy = 0 (Laplace) — u_xx + u_yy = 0 (லேப்லேஸ்)✓ Correct
Explanation
Laplace equation u_xx+u_yy=0 is elliptic. Classification for Au_xx+Bu_xy+Cu_yy+...: B^2-4AC < 0 elliptic, =0 parabolic, >0 hyperbolic. Heat: A=1,B=C=0 (parabolic). Wave: A=1,B=0,C=-1, B^2-4AC=4>0 (hyperbolic).
Laplace சமன்பாடு u_xx+u_yy=0 நீள்வட்டமானது. Au_xx+Bu_xy+Cu_yy+ க்கான வகைப்பாடு...: B^2-4AC < 0 நீள்வட்டம், =0 பரவளையம், >0 ஹைபர்போலிக். வெப்பம்: A=1,B=C=0 (பரபோலிக்). அலை: A=1,B=0,C=-1, B^2-4AC =4>0 (ஹைபர்போலிக்).
Q5Easy
The general solution of u_x = 0 (in two variables x, y) is:
u_x = 0 (x, y ஆகிய இரண்டு மாறிகளில்) பொதுவான தீர்வு:
- au(x,y) = C (where C is an absolute numerical constant) — u(x,y) = C (இங்கு C என்பது ஒரு முழுமையான எண் மாறிலி)
- bu(x,y) = f(x) (arbitrary differentiable function of x) — u(x,y) = f(x) (x-ன் தன்னிச்சையான வகையிடத்தக்க சார்பு)
- cu(x,y) = x · g(y) as a multiplicative linear factor — ஒரு பெருக்கல் நேரியல் காரணியாக u(x,y) = x · g(y)
- du(x,y) = f(y) (where f is an arbitrary differentiable function of y) — u(x,y) = f(y) (இங்கு f என்பது y-ன் ஏதேனும் ஒரு தன்னிச்சையான வகையிடத்தக்க சார்பு)✓ Correct
Explanation
u_x=0 means u does not depend on x. So u can be any function of y alone: u=f(y). This is the "general solution" -- the function f is arbitrary (the analogue of an arbitrary constant in ODEs, but here it is an arbitrary function).
u_x=0 என்றால் நீங்கள் xஐச் சார்ந்திருக்கவில்லை. எனவே நீங்கள் y இன் எந்தச் செயலாகவும் இருக்கலாம்: u= f(y) . இது "பொது தீர்வு" -- f செயல்பாடு தன்னிச்சையானது (ODE களில் தன்னிச்சையான மாறிலியின் அனலாக், ஆனால் இங்கே அது ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாடு).
20 more questions on Introduction to PDEs
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.