Q1Easy
A commutative ring with unity in which every non-zero element has a multiplicative inverse is called a:
பூஜ்ஜியம் அல்லாத ஒவ்வொரு தனிமமும் ஒரு பெருக்கல் தலைகீழ் கொண்ட ஒற்றுமையுடன் கூடிய ஒரு பரிமாற்ற வளையம் அழைக்கப்படுகிறது:
- aIntegral domain — ஒருங்கிணைந்த டொமைன்
- bPID
- cField — களம்✓ Correct
- dUFD — யுஎஃப்டி
Explanation
A field is a commutative ring with unity (1 ≠ 0) where every non-zero element is a unit (has a multiplicative inverse).
ஒரு புலம் என்பது ஒற்றுமையுடன் (1 ≠ 0) ஒரு பரிமாற்ற வளையமாகும், இதில் பூஜ்ஜியம் அல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு அலகு (பெருக்கல் தலைகீழ் உள்ளது).
Q2Easy
ℤₙ is a field if and only if n is:
n என்றால் மட்டும் ℤₙ ஒரு புலம்:
- aComposite — கூட்டு
- bOdd — ஒற்றைப்படை
- cPrime — பிரதம✓ Correct
- dEven — கூட
Explanation
ℤₙ is a field iff it is an integral domain iff n is prime. When n is prime, gcd(a,n)=1 for all 1 ≤ a < n, so every non-zero element has a multiplicative inverse.
ℤₙ என்பது ஒரு புலம் என்றால் அது ஒரு ஒருங்கிணைந்த டொமைன் IF n முதன்மையானது. n முதன்மையாக இருக்கும்போது, அனைத்து 1 ≤ a <n க்கும் gcd(a,n) =1, எனவே ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் தலைகீழ் உள்ளது.
Q3Easy
A zero divisor in a ring R is a non-zero element a such that:
R வளையத்தில் உள்ள பூஜ்ஜிய வகுப்பான் என்பது பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்பு ஆகும்:
- aa = −a — a = -a
- bab = 0 for some non-zero b in R — R இல் சில பூஜ்ஜியம் அல்லாத bக்கு ab = 0✓ Correct
- ca² = 0
- da has no multiplicative inverse — a பெருக்கல் தலைகீழ் இல்லை
Explanation
a ≠ 0 is a zero divisor if there exists b ≠ 0 with ab = 0. For example, in ℤ₆, 2 and 3 are zero divisors since 2·3 = 6 ≡ 0.
ab = 0 உடன் b ≠ 0 இருந்தால் a ≠ 0 என்பது பூஜ்ஜிய வகுப்பான். எடுத்துக்காட்டாக, ℤ₆ இல், 2 மற்றும் 3 ஆகியவை 2·3 = 6 ≡ 0 என்பதால் பூஜ்ஜிய வகுப்பான்கள்.
Q4Easy
Every ideal of ℤ is of the form:
ℤ இன் ஒவ்வொரு இலட்சியமும் வடிவம் கொண்டது:
- anℤ where n must be a square-free integer — n ஒரு வர்க்கமற்ற முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டிய nℤ
- bpℤ for prime integers p only — பகா முழு எண்களுக்கு மட்டும் pℤ
- cPrime ideals and maximal ideals only — முதன்மை ஐடியல்கள் மற்றும் பெரும ஐடியல்கள் மட்டுமே
- dnℤ for some non-negative integer n — ஏதேனும் ஒரு எதிர்மறையற்ற முழு எண் n-க்கு nℤ✓ Correct
Explanation
ℤ is a PID (principal ideal domain). Every ideal I of ℤ is generated by its smallest positive element n, giving I = nℤ = {0,±n,±2n,...}.
ℤ என்பது PID (முதன்மை சிறந்த டொமைன்). ஒவ்வொரு இலட்சியமான ℤ ஐயும் அதன் மிகச்சிறிய நேர்மறை உறுப்பு n ஆல் உருவாக்கப்படுகிறது, இது I = nℤ = {0,±n,±2n,...}.
Q5Easy
In a commutative ring R with unity, a maximal ideal M satisfies: R/M is a:
ஒரு பரிமாற்ற வளையத்தில் R ஒற்றுமையுடன், ஒரு அதிகபட்ச இலட்சிய M திருப்தி அளிக்கிறது: R/M என்பது ஒரு:
- aIntegral domain that is never a field — ஒருபோதும் களமாக இல்லாத முழு எண் வளையம்
- bField — களம் (Field)✓ Correct
- cRing with non-zero nilpotent elements — பூஜ்ஜியமற்ற நிப்போட்டன்ட் கூறுகளைக் கொண்ட வளையம்
- dNon-commutative division ring — பரிமாற்றமற்ற வகுத்தல் வளையம்
Explanation
M is maximal iff R/M has no proper non-trivial ideals iff R/M is a field.
M என்பது அதிகபட்சம் என்றால் R/M என்பது சரியான அற்பமான இலட்சியங்கள் இல்லை என்றால் R/M என்பது ஒரு புலம்.
20 more questions on Ring Theory
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.