Special Discrete Distributions — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Special Discrete Distributions, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

X~Bernoulli(p): P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. The mean and variance are:

X~ Bernoulli(p) : P(X=1) =p, P(X=0) =1-p. சராசரி மற்றும் மாறுபாடு:

  1. aE[X]=p, Var(X)=p*(1-p) — E[X]=p, Var(X) =p*(1-p)✓ Correct
  2. bE[X]=2p, Var(X)=p — E[X]=2p, Var(X) =p
  3. cE[X]=p, Var(X)=p^2 — E[X]=p, Var(X) = p^2
  4. dE[X]=p^2, Var(X)=p*(1-p) — இ[X]= p^2 , Var(X) =p*(1-p)

Explanation

E[X]=1*p+0*(1-p)=p. E[X^2]=1^2*p+0^2*(1-p)=p. Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=p-p^2=p(1-p). Maximum variance at p=1/2: Var=1/4. MGF: M(t)=1-p+p*e^t. PGF: G(z)=1-p+p*z. Sum of n Bernoulli(p): Binomial(n,p).

E[X]=1*p+0*(1-p)=p. E[ X^2 ]=1^2*p+0^2*(1-p)=p. P(X=1)0 =E[ P(X=1)1 ]-(E[X])^2=p- P(X=1)2 = P(X=1)3 . p= P(X=1)4 இல் அதிகபட்ச மாறுபாடு : Var= P(X=1)5 . MGF: P(X=1)6 =1-p+p* P(X=1)7 . PGF: P(X=1)8 =1-p+p*z. N P(X=1)9 இன் கூட்டுத்தொகை: P(X=0)0 .

Q2Easy

X~Binomial(n,p): P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^{n-k} for k=0,...,n. If X~Bin(10,0.3), E[X] and Var(X) are:

X~ Binomial(n,p) : P(X=k) = C(n,k) * p^k *(1-p)^{n-k} க்கு k=0,...,n. X~ Bin(10,0.3) , E[X] மற்றும் Var(X) என்றால்:

  1. aE[X]=3, Var(X)=7 — இ[X]=3, P(X=k)2 =7
  2. bE[X]=10, Var(X)=3 — இ[X]=10, Var(X) =3
  3. cE[X]=3, Var(X)=2.1 — இ[X]=3, Var(X) = 2.1✓ Correct
  4. dE[X]=0.3, Var(X)=2.1 — இ[X]= 0.3 , P(X=k)0 = P(X=k)1

Explanation

E[X]=n*p=10*0.3=3. Var(X)=n*p*(1-p)=10*0.3*0.7=2.1. MGF=(1-p+p*e^t)^n. PGF=(1-p+p*z)^n. Mode: floor((n+1)*p) or floor((n+1)*p)-1. The binomial distribution is the sum of n independent Bernoulli(p) trials.

E[X]=n*p=10* P(X=k)3 =3. P(X=k)4 =n*p*(1-p)=10* P(X=k)5 * P(X=k)6 = P(X=k)7 . MGF=(1-p+p* P(X=k)8 . PGF=(1-p+p*z)^n. பயன்முறை: P(X=k)9 *p) அல்லது C(n,k)0 *p)-1. பைனோமியல் விநியோகம் என்பது n சார்பற்ற C(n,k)1 சோதனைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

Q3Easy

X~Poisson(lambda): P(X=k)=e^{-lambda}*lambda^k/k! for k=0,1,2,... E[X]=Var(X)=lambda (mean equals variance). The Poisson approximation: for Binomial(n,p) with n large and p small, np=lambda:

X~ Poisson(lambda) : P(X=k) = e^{-lambda} * lambda^k /k! k=0,1,2,... E[X]= Var(X) =lambda (சராசரி சமமான மாறுபாடு). பாய்சன் தோராயம்: Binomial(n,p)க்கு n பெரிய மற்றும் சிறிய p, np=lambda:

  1. aMean = n p q, Variance = n p with inverted parameter formulas — மாற்றப்பட்ட அளவுரு சூத்திரங்களுடன் சராசரி = n p q, மாறுபாடு = n p
  2. bMean = n p, Variance = n p² with squared probability — வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட நிகழ்தகவுடன் சராசரி = n p, மாறுபாடு = n p²
  3. cMean = n / p, Variance = n (1 − p) / p² — சராசரி = n / p, மாறுபாடு = n (1 − p) / p²
  4. dMean = n p, Variance = n p q (where q = 1 − p) — சராசரி = n p, மாறுபாடு = n p q (இங்கு q = 1 − p)✓ Correct

Explanation

Poisson limit: C(n,k)*p^k*(1-p)^{n-k}->e^{-lambda}*lambda^k/k! as n->inf, np=lambda fixed. The key: C(n,k)/n^k->1/k! and (1-lambda/n)^n->e^{-lambda}. Application: rare events (traffic accidents, radioactive decay, insurance claims) are modeled by Poisson. The Poisson is the limiting case of the binomial for rare but numerous events.

பாய்சன் வரம்பு: P(X=k)4 * P(X=k)5 *(1-p)^{n-k}-> P(X=k)6 * P(X=k)7 /k! n->inf என, np=lambda நிலையானது. திறவுகோல்: P(X=k)8 / P(X=k)9 >1/k! மற்றும் (1-லாம்ப்டா/என்)^n-> e^{-lambda}0 . விண்ணப்பம்: அரிதான நிகழ்வுகள் (போக்குவரத்து விபத்துக்கள், கதிரியக்கச் சிதைவு, காப்பீட்டுக் கோரிக்கைகள்) பாய்ஸனால் வடிவமைக்கப்பட்டவை. பாய்ஸன் என்பது அரிதான ஆனால் பல நிகழ்வுகளுக்கான இருசொற்களின் வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கு.

Q4Easy

X~Geometric(p): number of trials until first success. P(X=k)=(1-p)^{k-1}*p for k=1,2,... E[X]=1/p and Var(X)=(1-p)/p^2. The memoryless property:

X~ Geometric(p) : முதல் வெற்றி வரை சோதனைகளின் எண்ணிக்கை. P(X=k) =(1-p)^{k-1}*p for k=1,2,... E[X]=1/p மற்றும் Var(X) =(1-p)/ p^2 . நினைவற்ற சொத்து:

  1. aThe geometric has no special property — வடிவியல் சிறப்பு சொத்து இல்லை
  2. bP(X>m+n|X>m) = P(X>n-1)
  3. cP(X>m+n|X>m) = P(X>n) = (1-p)^n for all m,n>=0 — P(X>m+n|X>m) = P(X>n) = (1-p)^n அனைத்து m,n>=0✓ Correct
  4. dP(X=m+n|X>m) = p*(1-p)^{n-1}

Explanation

Memoryless property: P(X>m+n|X>m) = P(X>n+m)/P(X>m) = (1-p)^{m+n}/(1-p)^m = (1-p)^n = P(X>n). The geometric distribution is the ONLY discrete memoryless distribution. The continuous analog is the exponential distribution (only continuous memoryless distribution). Practical interpretation: past failures give no information about future successes.

நினைவற்ற சொத்து: P(X>m+n|X>m) = P(X=k)0 / P(X=k)1 = (1-p)^{m+n}/(1-p)^m ​​= (1-p)^n = P(X=k)2 . வடிவியல் விநியோகம் என்பது தனித்த நினைவகமற்ற விநியோகம் மட்டுமே. தொடர்ச்சியான அனலாக் என்பது அதிவேக விநியோகம் (தொடர்ச்சியான நினைவகமற்ற விநியோகம் மட்டுமே). நடைமுறை விளக்கம்: கடந்த கால தோல்விகள் எதிர்கால வெற்றிகள் பற்றிய எந்த தகவலையும் கொடுக்கவில்லை.

Q5Easy

X~NegBinomial(r,p): number of failures before the r-th success. P(X=k)=C(r+k-1,k)*p^r*(1-p)^k for k=0,1,2,... E[X]=r(1-p)/p and Var(X)=r(1-p)/p^2. For r=1:

X~ NegBinomial(r,p) : ஆர்-வது வெற்றிக்கு முன் தோல்விகளின் எண்ணிக்கை. P(X=k) = C(r+k-1,k) * p^r *(1-p)^k for k=0,1,2,... E[X]= r(1-p) /p மற்றும் Var(X) = r(1-p) / p^2 . r=1க்கு:

  1. aX~Poisson(r/p) — X~ Poisson(r/p)
  2. bX is the number of failures before first success, a Geometric distribution — X என்பது முதல் வெற்றிக்கு முன் தோல்விகளின் எண்ணிக்கை, ஒரு வடிவியல் விநியோகம்✓ Correct
  3. cX~Geometric(1-p) — X~ Geometric(1-p)
  4. dX~Binomial(r,p) — X~ P(X=k)0

Explanation

NegBin(1,p) = geometric: P(X=k)=p*(1-p)^k (number of failures, k=0,1,2,...). Alternative parameterization: P(X=k)=(1-p)^{k-1}*p (number of trials k=1,2,...). The NegBin is a Poisson mixture: if lambda~Gamma(r,p/(1-p)), then X|lambda~Poisson(lambda) and marginally X~NegBin(r,p). Used for count data with overdispersion (Var>mean).

P(X=k)1 = வடிவியல்: P(X=k)2 =p*(1-p)^k (தோல்விகளின் எண்ணிக்கை, k=0,1,2,...). மாற்று அளவுருவாக்கம்: P(X=k)3 =(1-p)^{k-1}*p (சோதனைகளின் எண்ணிக்கை k=1,2,...). NegBin என்பது ஒரு பாய்சன் கலவையாகும்: லாம்ப்டா~ P(X=k)4 ), பின்னர் X|lambda~ P(X=k)5 மற்றும் ஓரளவு X~ P(X=k)6 . ஓவர் டிஸ்பெர்ஷன் (Var>mean) உடன் எண்ணிக்கை தரவுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

20 more questions on Special Discrete Distributions

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing