Continuity and Homeomorphisms — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Continuity and Homeomorphisms, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A function f: (X, T_X) -> (Y, T_Y) is continuous if:

ஒரு சார்பு f: (X, T_X) -> (Y, T_Y) தொடர்ச்சியாக இருந்தால்:

  1. af maps closed sets to closed sets
  2. bThe preimage of every open set in Y is open in X (i.e., f^{-1}(V) in T_X for every V in T_Y) — Y இல் திறந்திருக்கும் ஒவ்வொரு தொகுப்பின் முன் உருவமும் X இல் திறக்கப்படும் (அதாவது, T_Y இல் உள்ள ஒவ்வொரு Vக்கும் T_X இல் f^{-1}(V))✓ Correct
  3. cf is uniformly continuous
  4. df maps open sets to open sets

Explanation

Topological continuity: f is continuous iff preimages of open sets are open. Equivalently: preimages of closed sets are closed. This generalizes epsilon-delta continuity. Note: continuous functions need NOT map open sets to open sets (open maps) or preserve compactness directly.

இடவியல் தொடர்ச்சி: f என்பது தொடர்ச்சியானது IF திறந்த தொகுப்புகளின் முன் படங்கள் திறந்திருக்கும். சமமாக: மூடிய தொகுப்புகளின் முன் படங்கள் மூடப்பட்டுள்ளன. This generalizes epsilon-delta continuity. குறிப்பு: தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கு செட்களைத் திறக்க (திறந்த வரைபடங்கள்) அல்லது சுருக்கத்தை நேரடியாகப் பாதுகாக்க திறந்த தொகுப்புகளை வரைபடமாக்க தேவையில்லை.

Q2Easy

A homeomorphism is a bijection f: X -> Y such that:

ஹோமியோமார்பிஸம் என்பது ஒரு பைஜெக்ஷன் f: X -> Y

  1. af is continuous — f என்பது தொடர்ச்சியானது
  2. bBoth f and f^{-1} are continuous (bicontinuous bijection) — f மற்றும் f^{-1} இரண்டும் தொடர்ச்சியானவை✓ Correct
  3. cf preserves distances — f தூரத்தை பாதுகாக்கிறது
  4. df is a group homomorphism — f என்பது ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசம்

Explanation

Homeomorphism: f is bijective, continuous, and f^{-1} is also continuous. Homeomorphic spaces are "topologically identical." A continuous bijection is NOT necessarily a homeomorphism: the map [0,1) -> S^1, t -> e^{2*pi*i*t} is continuous bijective but NOT a homeomorphism (inverse is not continuous).

ஹோமியோமார்பிசம்: f என்பது இருமுனை, தொடர்ச்சி மற்றும் f^{-1} என்பதும் தொடர்ச்சி. ஹோமியோமார்பிக் இடைவெளிகள் "இடவியல் ரீதியாக ஒரே மாதிரியானவை." தொடர்ச்சியான பைஜெக்ஷன் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் அவசியமில்லை: வரைபடம் [0,1) -> S^1 , t -> e^{2 *pi*i*t} என்பது தொடர்ச்சியான இருமுனையமானது ஆனால் ஹோமியோமார்பிஸம் அல்ல (தலைகீழ் தொடர்ச்சியாக இல்லை).

Q3Easy

A topological property is one preserved by homeomorphisms. Which is a topological property?

இடவியல் பண்பு என்பது ஹோமியோமார்பிஸங்களால் பாதுகாக்கப்பட்ட ஒன்றாகும். இடவியல் பண்பு எது?

  1. aCompleteness (as a metric space) — முழுமை (மெட்ரிக் இடமாக)
  2. bCompactness — சுருக்கம்✓ Correct
  3. cDiameter of a set — ஒரு தொகுப்பின் விட்டம்
  4. dBoundedness — எல்லைக்கோடு

Explanation

Topological properties: compactness, connectedness, number of connected components, being Hausdorff, etc. Non-topological (metric/uniform) properties: completeness (R and (0,1) are homeomorphic via tan, R is complete but (0,1) is not), boundedness, diameter. These depend on the metric, not just the topology.

இடவியல் பண்புகள்: கச்சிதமான தன்மை, இணைப்பு, இணைக்கப்பட்ட கூறுகளின் எண்ணிக்கை, ஹவுஸ்டோர்ஃப் இருப்பது போன்றவை. இடவியல் அல்லாத (மெட்ரிக்/சீருடை) பண்புகள்: முழுமை (R மற்றும் (0,1) டான் வழியாக ஹோமியோமார்பிக் ஆகும், R முழுமையானது ஆனால் (0,1) இல்லை), எல்லை, விட்டம். இவை இடவியல் மட்டுமன்றி மெட்ரிக்கைப் பொறுத்தது.

Q4Easy

The composition of continuous maps f: X -> Y and g: Y -> Z is:

தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் கலவை f: X -> Y மற்றும் g: Y -> Z:

  1. af⁻¹(C) is open in X for every closed subset C ⊆ Y — Y-ல் உள்ள ஒவ்வொரு மூடிய உட்கணம் C-க்கும் X-ல் f⁻¹(C) திறந்த கணமாகும்
  2. bf⁻¹(V) is open in X for every open subset V ⊆ Y — Y-ல் உள்ள ஒவ்வொரு திறந்த உட்கணம் V-க்கும் X-ல் f⁻¹(V) திறந்த கணமாகும்✓ Correct
  3. cf(U) is open in Y for every open subset U ⊆ X — X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு திறந்த உட்கணம் U-க்கும் Y-ல் f(U) திறந்த கணமாகும்
  4. df maps Cauchy sequences in X to convergent sequences in Y — X-ல் உள்ள காசி வரிசைகளை Y-ல் குவியும் வரிசைகளாக f மாற்றுகிறது

Explanation

Composition preserves continuity: (g circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(g^{-1}(U)). Since g continuous: g^{-1}(U) is open. Since f continuous: f^{-1}(g^{-1}(U)) is open. So g circ f is continuous. Continuous maps form a category (with topological spaces as objects).

கலவை தொடர்ச்சியைப் பாதுகாக்கிறது: (g circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(g^{-1}(U)) . g தொடர்ந்து இருப்பதால்: g^{-1}(U) திறக்கப்பட்டுள்ளது. f தொடர்ந்து இருப்பதால்: f^{-1}(g^{-1}(U)) திறக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே g சர்க் f என்பது தொடர்ச்சி. தொடர்ச்சியான வரைபடங்கள் ஒரு வகையை உருவாக்குகின்றன (இடவியல் இடைவெளிகளை பொருள்களாகக் கொண்டு).

Q5Easy

A map f: X -> Y is an open map if it maps open sets to open sets. A continuous bijection that is also an open map is:

ஒரு வரைபடம் f: X -> Y என்பது ஒரு திறந்த வரைபடமாகும், இது திறந்த செட்களைத் திறக்கும் வரை வரைபடமாகும். திறந்த வரைபடமாகவும் இருக்கும் தொடர்ச்சியான பைஜெக்ஷன்:

  1. aAn isometry — ஒரு ஐசோமெட்ரி
  2. bA quotient map — ஒரு அளவு வரைபடம்
  3. cA homeomorphism — ஒரு ஹோமியோமார்பிசம்✓ Correct
  4. dJust continuous — வெறும் தொடர்ச்சி

Explanation

A continuous bijection f: X -> Y is a homeomorphism iff f is an open map (equivalently, iff f is a closed map). Because: f is open iff f^{-1} is continuous (since (f^{-1})^{-1}(U)=f(U)). So homeomorphism = continuous bijection + open.

ஒரு தொடர்ச்சியான பைஜெக்ஷன் f: X -> Y என்பது ஹோமியோமார்பிசம் iff f என்பது ஒரு திறந்த வரைபடம் (சமமாக, iff f என்பது ஒரு மூடிய வரைபடம்). ஏனெனில்: f என்பது திறந்திருக்கும் IF f^{-1} என்பது தொடர்ச்சியானது (( f^{-1})^{-1}(U) = f(U) ) எனவே ஹோமியோமார்பிசம் = தொடர்ச்சியான பைஜெக்ஷன் + திறந்தது.

20 more questions on Continuity and Homeomorphisms

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing