Q1Easy
The Laplace equation Delta u = u_xx + u_yy = 0. Its solutions (harmonic functions) satisfy the mean value property: for any circle in the domain:
லாப்லேஸ் சமன்பாடு டெல்டா u = u_xx + u_yy = 0. அதன் தீர்வுகள் (ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகள்) சராசரி மதிப்பு சொத்தை திருப்திப்படுத்துகின்றன: டொமைனில் உள்ள எந்த வட்டத்திற்கும்:
- au at center >= average on circle — u மையத்தில் >= வட்டத்தின் சராசரி
- bu is maximum at the center — நீங்கள் மையத்தில் அதிகபட்சம்
- cu at center = average value on any circle centered there — மையத்தில் u = அங்கு மையமாக இருக்கும் எந்த வட்டத்தின் சராசரி மதிப்பு✓ Correct
- du = 0 on the circle — வட்டத்தில் u = 0
Explanation
Mean value property: u(x_0) = (1/2*pi*r) ∮_{|x-x_0|=r} u dS. In 3D: u(x_0) = (1/(4*pi*r^2)) ∭_{|x-x_0|=r} u dS. This characterizes harmonic functions (it is equivalent to being harmonic for continuous functions).
சராசரி மதிப்பு சொத்து: u(x_0) = ( 1/2 *pi*r) ∮_{|x-x_0|=r} u dS. 3D இல்: u(x_0) = (1/(4*pi* r^2)) ∭_{|x-x_0|=r} u dS. இது ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளை வகைப்படுத்துகிறது (இது தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கு இசைவாக இருப்பதற்கு சமம்).
Q2Easy
The Poisson equation Delta u = f (nonhomogeneous). On a bounded domain with Dirichlet BCs, the solution is given by:
Poisson சமன்பாடு Delta u = f (ஒரே மாதிரியற்றது). டிரிச்லெட் பிசிகள் கொண்ட ஒரு வரம்பிற்குட்பட்ட டொமைனில், தீர்வு வழங்கப்படுவது:
- au = f only at boundary — u = f எல்லையில் மட்டும்
- bu(x) = ∫_Omega G(x,y)*f(y) dy where G is the Green function — u(x) = ∫_Omega G(x,y) * f(y) dy, G என்பது பச்சை நிறச் செயல்பாடு✓ Correct
- cu = f/Delta
- du = -f
Explanation
Poisson equation via Green function: u(x) = ∫G(x,y)f(y)dy + boundary terms. The Green function G(x,y) = -Phi(x-y) + H(x,y) where Phi is the fundamental solution of Laplace equation and H is a harmonic correction for the BCs. In free space: u = Phi * f (convolution).
பச்சை செயல்பாட்டின் வழியாக பாய்சன் சமன்பாடு: u(x) = ∫ G(x,y) f(y) dy + எல்லை விதிமுறைகள். பச்சை சார்பு G(x,y) = - Phi(x-y) + H(x,y) இதில் ஃபி என்பது லாப்லேஸ் சமன்பாட்டின் அடிப்படை தீர்வாகும் மற்றும் H என்பது BC களுக்கு ஒரு இணக்கமான திருத்தம் ஆகும். இலவச இடத்தில்: u = Phi * f (convolution).
Q3Easy
The wave equation u_tt = c^2*u_xx on a bounded interval [0,L] with Dirichlet BCs u(0,t)=u(L,t)=0 and initial data u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x) has solution by separation:
டைரிச்லெட் BCகள் u(0,t) = u(L,t) =0 மற்றும் ஆரம்பத் தரவு u(x,0) = f(x) , u_t(x,0) = g(x) ஆகியவற்றுடன் வரம்பற்ற இடைவெளியில் [0,L] அலை சமன்பாடு u_tt = c^2 *u_xx பிரிப்பதன் மூலம் தீர்வு உள்ளது:
- au(x,t) = f(x+ct) + f(x−ct) + c ∫₀^t g(s) ds without factor of 1/2 — 1/2 காரணியின்றி u(x,t) = f(x+ct) + f(x−ct) + c ∫₀^t g(s) ds
- bu(x,t) = (1/2)[f(x+ct) + f(x−ct)] + (1/2c) ∫_{x−ct}^{x+ct} g(s) ds✓ Correct
- cu(x,t) = (1/2)[f(x+ct) − f(x−ct)] + (1/2c) ∫_{x−ct}^{x+ct} g(s) ds
- du(x,t) = f(x) cos(ct) + (g(x)/c) sin(ct) as a standing harmonic wave — நிலை இசை அலையாக u(x,t) = f(x) cos(ct) + (g(x)/c) sin(ct)
Explanation
Mode expansion: u = sum_{n=1}^{inf} (A_n cos(n*pi*c*t/L) + B_n sin(n*pi*c*t/L)) sin(n*pi*x/L). Coefficients: A_n = (2/L)∫_0^L f(x)sin(n*pi*x/L)dx; B_n = (2/(n*pi*c))∫_0^L g(x)sin(n*pi*x/L)dx.
பயன்முறை விரிவாக்கம்: u = sum_{n=1}^{inf} (A_n u(0,t)3 + B_n u(0,t)4 ) u(0,t)5 . குணகங்கள்: A_n = (2/L)∫ u(0,t)6 u(0,t)7 u(0,t)8 dx; B_n = (2/(n*pi*c))∫ u(0,t)9 u(L,t)0 u(L,t)1 dx.
Q4Easy
The heat equation u_t = k*u_xx with u(x,0)=f(x) on [0,L], Dirichlet BCs. The solution decays to:
வெப்பச் சமன்பாடு u_t = k*u_xx உடன் u(x,0) = f(x) இல் [0,L], டிரிச்லெட் BCகள். தீர்வு சிதைகிறது:
- aA nonzero steady state — பூஜ்ஜியமற்ற நிலையான நிலை
- bf(x) always — f(x) எப்போதும்
- cA periodic function — ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு
- du = 0 as t -> inf (for Dirichlet BCs with u=0 at boundaries) — u = 0 என t -> inf (எல்லைகளில் u=0 உள்ள Dirichlet BC களுக்கு)✓ Correct
Explanation
With u(0,t)=u(L,t)=0: u(x,t) = sum b_n sin(n*pi*x/L) e^{-k*(n*pi/L)^2*t}. Each mode decays exponentially. As t->inf: u->0. The fastest decay is the second mode n=2 dominating after the first. The decay rate is k*(pi/L)^2 (for the fundamental mode n=1).
u(0,t) = u(L,t) =0 உடன்: u(x,t) = தொகை b_n sin(n*pi*x/L) e^{-k *(n*pi/L)^2*t}. ஒவ்வொரு முறையும் அதிவேகமாக சிதைகிறது. t->inf: u->0. வேகமான சிதைவு என்பது முதல் முறைக்கு பிறகு ஆதிக்கம் செலுத்தும் இரண்டாவது முறை n=2 ஆகும். சிதைவு விகிதம் k*(pi/L)^2 (அடிப்படை பயன்முறைக்கு n=1).
Q5Easy
In polar coordinates (r, theta), the Laplace equation Delta u = 0 separates to give radial solutions:
துருவ ஆயத்தொகுப்புகளில் (r, theta), ரேடியல் தீர்வுகளை வழங்க, Laplace சமன்பாடு Delta u = 0 பிரிக்கிறது:
- asin(nr) and cos(nr) — sin(nr) மற்றும் cos(nr)
- be^{nr}
- cr^n only — r^n மட்டும்
- dr^n and r^{-n} for n != 0, and 1 and ln r for n=0 — n != 0 க்கு r^n மற்றும் r^{-n}, மற்றும் n=0 க்கு 1 மற்றும் ln r✓ Correct
Explanation
In polar: u = R(r)*Theta(theta). Theta solution: cos(n*theta) and sin(n*theta). Radial Euler eq: r^2 R''+ r R' - n^2 R=0. For n!=0: R=A*r^n+B*r^{-n}. For n=0: R=A+B*ln r. General harmonic in disk: u=A_0+B_0*ln r + sum(A_n r^n + B_n r^{-n})(cos + sin).
துருவத்தில்: u = R(r) * Theta(theta) . தீட்டா தீர்வு: cos(n*theta) மற்றும் sin(n*theta) . ரேடியல் யூலர் ஈக்: r^{-n}0 R''+ r R' - r^{-n}1 R=0. nக்கு!=0: R=A* r^{-n}2 * r^{-n}3 . n=0க்கு: R=A+B*ln r. வட்டில் பொதுவான ஹார்மோனிக்: u=A_0+B_0*ln r + r^{-n}4 (cos + sin).
20 more questions on Laplace Wave and Heat Equations
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.