Hamiltonian Formulation and Canonical Equations — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Hamiltonian Formulation and Canonical Equations, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The Hamiltonian is obtained from the Lagrangian by the Legendre transformation:

ஹாமில்டோனியன் லெஜண்ட்ரே மாற்றத்தின் மூலம் லாக்ராஞ்சியனில் இருந்து பெறப்பட்டது:

  1. aH(q, p, t) = L - sum(p_i q'_i) (negative Legendre transformation) — H(q, p, t) = L - sum(p_i q'_i) (எதிர்மறை லெஜண்டர் உருமாற்றம்)
  2. bH(q, p, t) = sum(p_i q'_i) - L, with velocities q'_i expressed in terms of momenta p_i — H(q, p, t) = sum(p_i q'_i) - L, திசைவேகங்கள் q'_i உந்தங்கள் p_i-ன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன✓ Correct
  3. cH(q, p, t) = sum(p_i^2 / (2m)) - V (restricted free particle Hamiltonian) — H(q, p, t) = sum(p_i^2 / (2m)) - V (வரம்பிடப்பட்ட தடையற்ற துகள் ஹாமில்டோனியன்)
  4. dH(q, p, t) = sum(p_i q_i) + L (additive position momentum coupling) — H(q, p, t) = sum(p_i q_i) + L (கூட்டு நிலை உந்த இணைப்பு)

Explanation

The essential step is eliminating the velocities in favour of the momenta. H is a function of q, p and t -- never of q_dot.

இன்றியமையாத படியானது, மொமண்டாவிற்கு ஆதரவாக வேகங்களை நீக்குவதாகும். H என்பது q, p மற்றும் t -- q_dot இன் செயல்பாடில்லை.

Q2Easy

Hamilton canonical equations of motion are:

ஹாமில்டன் இயக்கத்தின் நியதிச் சமன்பாடுகள்:

  1. aq_dot_i = partial H/partial p_i and p_dot_i = -partial H/partial q_i — q_dot_i = பகுதி H/பகுதி p_i மற்றும் p_dot_i = -பகுதி H/பகுதி q_i✓ Correct
  2. bp_dot_i = partial H/partial p_i — p_dot_i = பகுதி H/பகுதி p_i
  3. cq_dot_i = -partial H/partial p_i and p_dot_i = partial H/partial q_i — q_dot_i = -பகுதி H/பகுதி p_i மற்றும் p_dot_i = பகுதி H/பகுதி q_i
  4. dq_dot_i = partial H/partial q_i — q_dot_i = பகுதி H/பகுதி q_i

Explanation

Note the asymmetry of the minus sign. These are 2n FIRST order equations, replacing the n second order Lagrange equations.

கழித்தல் குறியின் சமச்சீரற்ற தன்மையைக் கவனியுங்கள். இவை 2n FIRST வரிசை சமன்பாடுகள், n இரண்டாவது வரிசை லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளை மாற்றுகிறது.

Q3Easy

The phase space of a mechanical system with n degrees of freedom is:

n டிகிரி சுதந்திரத்துடன் கூடிய இயந்திர அமைப்பின் கட்ட இடைவெளி:

  1. aThe n-dimensional configuration manifold of generalized coordinates q_i only — பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயங்கள் q_i-ன் n-பரிமாண உள்ளமைவு பன்மடி மட்டுமே
  2. bThe (2n+1)-dimensional extended space including total action integral — மொத்த செயல்பாட்டுத் தொகையீடு உள்ளிட்ட (2n+1)-பரிமாண நீட்டிக்கப்பட்ட வெளி
  3. cThe 3n-dimensional Euclidean space of particle position and acceleration vectors — துகள் நிலை மற்றும் முடுக்க வெக்டர்களின் 3n-பரிமாண யூக்ளிடியன் வெளி
  4. dThe 2n-dimensional space of generalized coordinates q_i and canonical momenta p_i — பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயங்கள் q_i மற்றும் நியமன உந்தங்கள் p_i-ன் 2n-பரிமாண வெளி✓ Correct

Explanation

Configuration space is n-dimensional. Phase space doubles it and is the natural arena for Hamiltonian mechanics, where a state determines the entire future trajectory.

கட்டமைப்பு இடம் n-பரிமாணமானது. ஃபேஸ் ஸ்பேஸ் அதை இரட்டிப்பாக்குகிறது மற்றும் ஹாமில்டோனியன் இயக்கவியலுக்கான இயற்கையான அரங்கமாகும், அங்கு ஒரு மாநிலம் முழு எதிர்காலப் பாதையையும் தீர்மானிக்கிறது.

Q4Easy

When the Lagrangian has no explicit time dependence, the Hamiltonian is:

லாக்ராஞ்சியனுக்கு வெளிப்படையான நேர சார்பு இல்லாதபோது, ஹாமில்டோனியன்:

  1. aEqual to zero identically for all trajectories in conservative phase space — பழமைவாத கட்ட வெளியில் உள்ள அனைத்து பாதைகளுக்கும் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்
  2. bConserved along the motion (dH/dt = -partial L / partial t = 0) — இயக்கம் நெடுகிலும் பாதுகாக்கப்படுகிறது (dH/dt = -partial L / partial t = 0)✓ Correct
  3. cOscillating sinusoidally with the frequency of the fastest canonical coordinate — வேகமான நியமன ஆயத்தின் அதிர்வெண்ணுடன் சைனூசாய்டல் முறையில் அலைவுறுகிறது
  4. dMonotonically decaying to zero due to phase space volume contraction — கட்ட வெளி கனஅளவு சுருக்கம் காரணமாக பூஜ்ஜியத்திற்கு சீராக சிதைகிறது

Explanation

H equals the total energy T + V provided additionally that the constraints are time-independent (T is quadratic in the velocities) and V is velocity-independent.

H ஆனது மொத்த ஆற்றல் T + Vக்கு சமம், மேலும் கட்டுப்பாடுகள் நேர-சார்பு (T என்பது திசைவேகங்களில் இருபடி) மற்றும் V என்பது வேகம்-சுயாதீனமானது.

Q5Easy

The Hamiltonian fails to equal the total energy T + V when:

ஹாமில்டோனியன் மொத்த ஆற்றல் T + V ஐ சமன் செய்யத் தவறியது:

  1. aThe potential energy V depends quadratically on generalized velocities — சாத்தியக்கூறு ஆற்றல் V பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட திசைவேகங்களை இருபடி முறையில் சார்ந்துள்ளது
  2. bThe kinetic energy is a homogeneous quadratic function of velocities — இயக்க ஆற்றல் என்பது திசைவேகங்களின் ஒரே மாதிரியான இருபடிச் சார்பாகும்
  3. cThe system has an odd number of degrees of freedom in three dimensions — அமைப்பு மூன்று பரிமாணங்களில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான சுதந்திர நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது
  4. dTransformation from Cartesian to generalized coordinates involves explicit time t — கார்டீசியனிலிருந்து பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயங்களுக்கான மாற்றம் வெளிப்படையான நேரம் t-ஐ உள்ளடக்கியது✓ Correct

Explanation

A classic example is a bead on a wire rotating at forced constant angular velocity: H is conserved but is not the total energy.

ஒரு உன்னதமான உதாரணம், கட்டாய நிலையான கோணத் திசைவேகத்தில் சுழலும் கம்பியில் மணிகள்: H பாதுகாக்கப்படுகிறது ஆனால் மொத்த ஆற்றல் அல்ல.

20 more questions on Hamiltonian Formulation and Canonical Equations

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing