Q1Easy
The divergence theorem converts a closed surface integral to a:
மாறுபட்ட தேற்றம் ஒரு மூடிய மேற்பரப்பை ஒரு பகுதியாக மாற்றுகிறது:
- aSurface integral of the curl — சுருட்டையின் மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு
- bDouble integral in 2D — 2டியில் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு
- cVolume integral of the divergence — வேற்றுமையின் தொகுதி ஒருங்கிணைப்பு✓ Correct
- dLine integral around the boundary — எல்லையைச் சுற்றி ஒருங்கிணைந்த கோடு
Explanation
Divergence theorem: double integral_S F.dS = triple integral_V div F dV.
மாறுபட்ட தேற்றம்: இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு_S F.dS = டிரிபிள் இன்டெக்ரல்_வி div F dV.
Q2Easy
Stokes theorem converts a line integral around a closed curve to a:
ஸ்டோக்ஸ் தேற்றம் ஒரு மூடிய வளைவைச் சுற்றி ஒரு கோடு ஒருங்கிணைந்ததாக மாற்றுகிறது:
- aVolume integral of the divergence — வேற்றுமையின் தொகுதி ஒருங்கிணைப்பு
- bSurface integral of the curl over any surface bounded by C — C ஆல் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட எந்த மேற்பரப்பிலும் சுருட்டையின் மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு✓ Correct
- cArea integral in 2D — 2டியில் ஒருங்கிணைந்த பகுதி
- dLine integral along a different curve — வேறொரு வளைவுடன் ஒருங்கிணைந்த கோடு
Explanation
Stokes: integral_C F.dr = double integral_S (curl F).dS for any surface S bounded by C.
ஸ்டோக்ஸ்: integral_C F.dr = இரட்டை integral_S (சுருட்டை F).dS எந்த மேற்பரப்பிற்கும் S வரம்பில் C.
Q3Easy
Green's theorem applies to:
கிரீன் தேற்றம் இதற்குப் பொருந்தும்:
- aUnbounded open half-planes with singular non-integrable vector boundary components — தனிம தொகையிட முடியாத வெக்டர் எல்லை கூறுகளைக் கொண்ட எல்லையற்ற திறந்த அரைத் தளங்கள்
- bPlanar regions bounded by piecewise smooth simple closed curves in 2D — 2D-ல் பகுதிவாரியாக மென்மையான எளிய மூடிய வளைவுகளால் சூழப்பட்ட தள பகுதிகள்✓ Correct
- cClosed three-dimensional solid volumetric balls without boundary manifolds — எல்லை பன்மடி இல்லாத மூடிய முப்பரிமாண திட கனஅளவு பந்துகள்
- dArbitrary non-orientable Möbius strip surfaces embedded in 3D Euclidean space — 3D யூக்ளிடியன் வெளியில் பொதிந்துள்ள தன்னிச்சையான திசையமைக்க முடியாத மோபியஸ் பட்டை மேற்பரப்புகள்
Explanation
Green's theorem: 2D version of Stokes; requires a simple (non-self-intersecting) closed curve bounding a planar region.
கிரீன் தேற்றம்: ஸ்டோக்ஸின் 2டி பதிப்பு; ஒரு சமதளப் பகுதியைக் கட்டுப்படுத்தும் ஒரு எளிய (சுய-குறுக்கிடாத) மூடிய வளைவு தேவைப்படுகிறது.
Q4Easy
The Divergence theorem shows that for a solenoidal field (div F = 0), the flux through any closed surface is:
ஒரு சோலெனாய்டல் புலத்திற்கு (டிவ் எஃப் = 0), எந்த மூடிய மேற்பரப்பிலும் பாய்வது:
- aPositive always — எப்போதும் நேர்மறை
- bZero — பூஜ்யம்✓ Correct
- cEqual to the volume enclosed — இணைக்கப்பட்ட தொகுதிக்கு சமம்
- dEqual to the surface area — மேற்பரப்பு பகுதிக்கு சமம்
Explanation
div F = 0 => flux = triple integral 0 dV = 0; field has no net sources or sinks.
div F = 0 => flux = triple integral 0 dV = 0; புலத்தில் நிகர ஆதாரங்கள் அல்லது மூழ்கிகள் இல்லை.
Q5Easy
To evaluate integral_C (x^2 y dx + x y^2 dy) around the unit circle using Green's theorem:
கிரீன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி யூனிட் வட்டத்தைச் சுற்றி ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட_C (x^2 y dx + x y^2 dy) ஐ மதிப்பிட:
- adouble integral_D (y^2 - x^2) dA = pi/2
- bdouble integral_D (y^2 - x^2) dA = 0 (by circular domain symmetry) — double integral_D (y^2 - x^2) dA = 0 (வட்ட அரங்கு சமச்சீர்மை மூலம்)✓ Correct
- cdouble integral_D (x^2 + y^2) dA = pi/2
- ddouble integral_D (y^2 - x^2) dA = pi
Explanation
Qx - Py = y^2 - x^2; integral over unit disk = 0 by symmetry (y^2 and x^2 have equal integrals over unit disk).
Qx - Py = y^2 - x^2 ; யூனிட் வட்டுக்கு மேல் ஒருங்கிணைப்பு = சமச்சீர் மூலம் 0 (y^2 மற்றும் x^2 ஆகியவை யூனிட் வட்டுக்கு மேல் சமமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டுள்ளன).
20 more questions on Integral Theorems
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.