Q1Easy
The Lᵖ norm is defined as ‖f‖_p = (∫|f|ᵖ)^{1/p}. For p = 2, L² has the inner product:
Lᵖ விதிமுறை ‖f‖_p = (∫|f|ᵖ)^{1/p} என வரையறுக்கப்படுகிறது. p = 2 க்கு, L² உள் தயாரிப்பு உள்ளது:
- a⟨f,g⟩ = ∫f·g✓ Correct
- b⟨f,g⟩ = ∫f²g²
- c⟨f,g⟩ = (‖f‖+‖g‖)/2
- d⟨f,g⟩ = ∫fg'
Explanation
L²([a,b]) with ⟨f,g⟩ = ∫ₐᵇ f(x)g(x)dx (real) or ∫fg̅ (complex) is a Hilbert space. The induced norm ‖f‖₂ = √∫|f|² is the L² norm.
L²([a,b]) ⟨f,g⟩ = ∫ₐᵇ f(x) g(x) dx (உண்மையான) அல்லது ∫fg̅ (சிக்கலானது) ஒரு ஹில்பர்ட் இடைவெளி. தூண்டப்பட்ட விதிமுறை ‖f‖₂ = √∫|f|² என்பது L² நெறியாகும்.
Q2Easy
Hölder's inequality: for 1/p + 1/q = 1 (conjugate exponents, p,q > 1):
ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மை: 1/p + 1/q = 1க்கு (இணைப்பு அடுக்குகள், p,q > 1):
- a∫|fg| ≥ ‖f‖_p · ‖g‖_q
- b‖f+g‖_p ≤ ‖f‖_p + ‖g‖_p
- c∫|fg| ≤ ‖f‖_p · ‖g‖_q✓ Correct
- d∫|fg| ≤ ‖f‖_p + ‖g‖_q
Explanation
Hölder: ∫|fg| ≤ ‖f‖_p·‖g‖_q when 1/p+1/q=1. Special case p=q=2: Cauchy-Schwarz ∫|fg| ≤ ‖f‖₂‖g‖₂.
ஹோல்டர்: ∫|fg| ≤ ‖f‖_p·‖g‖_q போது 1/p+1/q=1. சிறப்பு வழக்கு p=q=2: Cauchy-Schwarz ∫|fg| ≤ ‖f‖₂‖g‖₂.
Q3Easy
Minkowski's inequality states: ‖f + g‖_p ≤
மின்கோவ்ஸ்கியின் சமத்துவமின்மை கூறுகிறது: ‖f + g‖_p ≤
- a‖f‖_p + ‖g‖_p✓ Correct
- bmax(‖f‖_p, ‖g‖_p)
- c‖f‖_p · ‖g‖_p
- d‖f‖_p − ‖g‖_p
Explanation
Minkowski's inequality (triangle inequality for Lᵖ): ‖f+g‖_p ≤ ‖f‖_p + ‖g‖_p for p ≥ 1. Proved using Hölder's inequality. This shows ‖·‖_p is a norm.
மின்கோவ்ஸ்கியின் சமத்துவமின்மை (Lᵖக்கான முக்கோண சமத்துவமின்மை): ‖f+g‖_p ≤ ‖f‖_p + ‖g‖_p க்கு p ≥ 1. ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டது. இது ‖·‖_p ஒரு விதிமுறை என்பதைக் காட்டுகிறது.
Q4Easy
Lᵖ([a,b]) is complete for:
Lᵖ([a,b]) இதற்கு முழுமையானது:
- ap = 2 only — ப = 2 மட்டும்
- bp = 1 and p = ∞ only — p = 1 மற்றும் p = ∞ மட்டும்
- cNo value of p — p இன் மதிப்பு இல்லை
- dAll p ≥ 1 — அனைத்து ப ≥ 1✓ Correct
Explanation
The Riesz-Fischer theorem: Lᵖ is complete (Banach space) for all 1 ≤ p ≤ ∞. For p=2, Lᵖ is additionally a Hilbert space.
Riesz-Fischer தேற்றம்: Lᵖ அனைத்து 1 ≤ p ≤ ∞ முழுமை (Banach space). p=2க்கு, Lᵖ கூடுதலாக ஒரு ஹில்பர்ட் இடைவெளி.
Q5Easy
The dual space (Lᵖ)* is isometrically isomorphic to:
இரட்டை வெளி (Lᵖ)* ஐசோமெட்ரிக் ஐசோமார்பிக் ஆகும்:
- aLᵖ itself — Lᵖ தன்னை
- bL∞ always — L∞ எப்போதும்
- cL¹ always — L¹ எப்போதும்
- dLq where 1/p + 1/q = 1 — Lq இங்கு 1/p + 1/q = 1✓ Correct
Explanation
For 1 ≤ p < ∞: (Lᵖ)* ≅ Lq where 1/p+1/q=1. Specifically, every bounded linear functional on Lᵖ is of the form f ↦ ∫fg for a unique g ∈ Lq. For p=2: (L²)* ≅ L² (Hilbert space self-duality).
1 ≤ p < ∞: (Lᵖ)* ≅ Lq க்கு 1/p+1/q=1. குறிப்பாக, Lᵖ இல் உள்ள ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட நேரியல் செயல்பாடும் ஒரு தனிப்பட்ட g ∈ Lq க்கு f ↦ ∫fg வடிவத்தில் உள்ளது. p=2க்கு: (L²)* ≅ L² (ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் சுய-இருமை).
20 more questions on Function Spaces
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.