Q1Easy
A function u(x,y) is harmonic on a domain D if:
u(x,y) ஒரு செயல்பாடு D டொமைனில் இணக்கமாக இருந்தால்:
- au is continuous on D — நீங்கள் D இல் தொடர்ந்து இருக்கிறீர்கள்
- bu = Re(f) for some f — சில fக்கு u = Re(f)
- cu has no critical points — உங்களிடம் முக்கியமான புள்ளிகள் இல்லை
- d∇²u = uₓₓ + uᵧᵧ = 0 everywhere in D (Laplace equation) — D இல் எல்லா இடங்களிலும் ∇²u = uₓₓ + uᵧᵧ = 0 (Laplace சமன்பாடு)✓ Correct
Explanation
A harmonic function satisfies the Laplace equation Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0. Examples: x, y, x²−y², eˣcos y, ln r (away from origin).
ஒரு ஹார்மோனிக் செயல்பாடு லாப்லேஸ் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0. எடுத்துக்காட்டுகள்: x, y, x²−y², eˣcos y, ln r (தோற்றத்திலிருந்து விலகி).
Q2Easy
If f = u + iv is analytic on D, then both u and v are:
f = u + iv என்பது D இல் பகுப்பாய்வாக இருந்தால், u மற்றும் v இரண்டும்:
- aConstant — நிலையான
- bEqual — சமம்
- cZero — பூஜ்யம்
- dHarmonic on D — டி மீது ஹார்மோனிக்✓ Correct
Explanation
Real and imaginary parts of an analytic function are harmonic. This follows from differentiating the C-R equations. Conversely, every harmonic function is locally the real part of some analytic function.
ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் உண்மையான மற்றும் கற்பனையான பகுதிகள் இணக்கமானவை. இது C-R சமன்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. மாறாக, ஒவ்வொரு ஹார்மோனிக் செயல்பாடும் உள்நாட்டில் சில பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் உண்மையான பகுதியாகும்.
Q3Easy
The mean value property of harmonic functions: if u is harmonic in a disk containing the circle |z−z₀|=r, then:
ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் சராசரி மதிப்பு பண்பு: வட்டம் |z−z₀|=r உள்ள வட்டில் u ஹார்மோனிக் என்றால்:
- au(z₀) = 0
- bu(z₀) = u(z₀+r)
- cu(z₀) = (1/2π) ∫₀^{2π} u(z₀+re^{iθ})dθ — u(z₀) = (1/2π) ∫₀^{2π} u(z₀+re^{iθ}) dθ✓ Correct
- du(z₀) = max u on the circle — u(z₀) = வட்டத்தில் அதிகபட்சம்
Explanation
Mean Value Property: the value at the center equals the average over any circle: u(z₀)=(1/2π)∫₀^{2π}u(z₀+re^{iθ})dθ. This is a consequence of Cauchy's integral formula applied to f=u+iv.
சராசரி மதிப்பு சொத்து: மையத்தில் உள்ள மதிப்பு எந்த வட்டத்தின் சராசரிக்கும் சமம்: u(z₀) =(1/2π)∫₀^{2π} u(z₀+re^{iθ}) dθ. இது f=u+ivக்கு பயன்படுத்தப்படும் Cauchy இன் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரத்தின் விளைவாகும்.
Q4Easy
The maximum principle for harmonic functions: if u is harmonic and non-constant on a connected domain D, then:
ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளுக்கான அதிகபட்சக் கொள்கை: இணைக்கப்பட்ட டொமைன் D இல் நீங்கள் இணக்கமாகவும் நிலையானதாகவும் இருந்தால், பின்:
- aAttains its maximum and minimum strictly on the boundary ∂D — அதன் பெரும மற்றும் சிறும மதிப்புகளை கண்டிப்பான எல்லை ∂D-ல் மட்டுமே அடையும்✓ Correct
- bAttains a strict local maximum at every interior point where ∇u = 0 — ∇u = 0 ஆகும் ஒவ்வொரு உட்புள்ளியிலும் கண்டிப்பான உள்ளூர் பெருமத்தை அடையும்
- cHas zero boundary values whenever it is constant on D — D-ல் மாறிலியாக இருக்கும்போது எப்போதும் பூஜ்ஜிய எல்லை மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்
- dIs unbounded whenever the domain D is bounded and convex — அரங்கம் D வரம்புடைய மற்றும் குவிந்ததாக இருக்கும்போது வரம்பற்றதாகும்
Explanation
Strong maximum principle: a non-constant harmonic function cannot attain its maximum (or minimum) in the interior of its domain. Both max and min are attained only on the boundary.
வலுவான அதிகபட்ச கொள்கை: ஒரு நிலையான அல்லாத ஹார்மோனிக் செயல்பாடு அதன் டொமைனின் உட்புறத்தில் அதன் அதிகபட்ச (அல்லது குறைந்தபட்சம்) அடைய முடியாது. அதிகபட்சம் மற்றும் நிமிடம் இரண்டும் எல்லையில் மட்டுமே அடையப்படும்.
Q5Easy
The Poisson integral formula solves the Dirichlet problem: find u harmonic in |z|<1 with u=f on |z|=1. The solution is:
Poisson integral formula Dirichlet சிக்கலை தீர்க்கிறது: |z|<1 உடன் u=f on |z|=1 இல் u ஹார்மோனிக் கண்டுபிடிக்கவும். தீர்வு:
- au = f(0) everywhere — u = f(0) எல்லா இடங்களிலும்
- bu(re^{iθ}) = f(re^{iθ})
- cu(re^{iθ}) = (1/2π)∫₀^{2π} P(r,θ−φ)f(e^{iφ})dφ where P = (1−r²)/(1−2r cos θ+r²) — u(re^{iθ}) = (1/2π)∫₀^{2π} P(r,θ−φ) f(e^{iφ}) dφ இங்கு P = (1−r²)/(1−2r cos θ+r²)✓ Correct
- du = 0 for r<1 — r<1க்கு u = 0
Explanation
Poisson formula: u(re^{iθ})=(1/2π)∫P_r(θ−φ)f(φ)dφ where P_r(θ)=(1−r²)/(1+r²−2r cos θ) is the Poisson kernel. As r→1, P_r(θ-φ)→δ(θ−φ), so u→f continuously.
பாய்சன் சூத்திரம்: u(re^{iθ}) =(1/2π)∫ P_r(θ−φ) f(φ) dφ இதில் P_r(θ) =(1−r²)/(1+r²−2r cos θ) என்பது Poisson கர்னல். r→1 ஆக, f(re^{iθ})0 →δ(θ−φ), எனவே u→f தொடர்ந்து.
20 more questions on Harmonic Functions
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.