Generalised Coordinates and Lagrange Equations — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Generalised Coordinates and Lagrange Equations, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A constraint on a mechanical system is called holonomic if it can be written as:

ஒரு இயந்திர அமைப்பில் உள்ள ஒரு தடையை ஹோலோனோமிக் என்று எழுதலாம்:

  1. af(r_1, ..., r_n, t) = 0, involving only coordinates and time — f(r_1, ..., r_n, t) = 0, ஆய மற்றும் நேரத்தை மட்டும் உள்ளடக்கியது✓ Correct
  2. bA force law — ஒரு படை சட்டம்
  3. cA relation involving velocities that cannot be integrated — ஒருங்கிணைக்க முடியாத வேகங்களை உள்ளடக்கிய உறவு
  4. dAn inequality — ஒரு சமத்துவமின்மை

Explanation

Holonomic constraints reduce the number of independent coordinates. A bead on a rigid wire is holonomic; a ball rolling without slipping on a plane is non-holonomic.

ஹோலோனமிக் கட்டுப்பாடுகள் சுயாதீன ஆயங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்கின்றன. ஒரு திடமான கம்பி மீது ஒரு மணிகள் holonomic உள்ளது; ஒரு விமானத்தில் நழுவாமல் உருளும் பந்து ஹோலோனமிக் அல்ல.

Q2Easy

A system of N particles subject to k independent holonomic constraints has how many degrees of freedom?

கே இன்டிபென்டென்ட் ஹோலோனமிக் கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்ட N துகள்களின் அமைப்பு எத்தனை டிகிரி சுதந்திரத்தைக் கொண்டுள்ளது?

  1. a3N
  2. b3N + k — 3N + கே
  3. cN - k — என் - கே
  4. d3N - k — 3N - கே✓ Correct

Explanation

Each particle contributes 3 coordinates in space and each independent holonomic constraint removes one. A rigid body has 6 degrees of freedom: 3 translational and 3 rotational.

ஒவ்வொரு துகளும் விண்வெளியில் 3 ஆயங்களை பங்களிக்கின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு சுயாதீன ஹோலோமிக் தடையும் ஒன்றை நீக்குகிறது. ஒரு திடமான உடலில் 6 டிகிரி சுதந்திரம் உள்ளது: 3 மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் 3 சுழற்சி.

Q3Easy

Generalised coordinates q_1, ..., q_n are:

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஆயங்கள் q_1, ..., q_n:

  1. aOnly angular variables measuring rotations around principal axes — முதன்மை அச்சுகளைச் சுற்றியுள்ள சுழற்சிகளை அளவிடும் கோண மாறிகள் மட்டுமே
  2. bCartesian coordinates of particles restricted strictly to the x-axis — x-அச்சுக்கு கண்டிப்பாக கட்டுப்படுத்தப்பட்ட துகள்களின் கார்டீசியன் ஆயங்கள்
  3. cThe velocities and accelerations of all mass points in Euclidean space — யூக்ளிடியன் வெளியில் உள்ள அனைத்து நிறை புள்ளிகளின் திசைவேகங்கள் மற்றும் முடுக்கங்கள்
  4. dAny independent set of parameters that completely specify configuration of the system — அமைப்பின் உள்ளமைவை முழுமையாகக் குறிப்பிடும் எந்தவொரு சார்பற்ற அளவுருக்களின் கணம்✓ Correct

Explanation

They need not have dimensions of length -- angles, areas or dimensionless ratios are all acceptable. Choosing them well is the main art in applying Lagrangian mechanics.

அவை நீளத்தின் பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை -- கோணங்கள், பகுதிகள் அல்லது பரிமாணமற்ற விகிதங்கள் அனைத்தும் ஏற்கத்தக்கவை. லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியலைப் பயன்படுத்துவதில் அவற்றை நன்றாகத் தேர்ந்தெடுப்பது முக்கிய கலை.

Q4Easy

The Lagrangian of a conservative mechanical system is defined as:

ஒரு பழமைவாத இயந்திர அமைப்பின் லாக்ராஞ்சியன் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

  1. aL = T - V (kinetic energy minus potential energy of the conservative system) — L = T - V (பழமைவாத அமைப்பின் இயக்க ஆற்றல் மைனஸ் சாத்தியக்கூறு ஆற்றல்)✓ Correct
  2. bL = 2T - V (virial theorem kinetic balance representation) — L = 2T - V (விரியல் தேற்ற இயக்க சமநிலை பிரதிநிதித்துவம்)
  3. cL = T + V (total mechanical energy of the conservative system) — L = T + V (பழமைவாத அமைப்பின் மொத்த இயந்திர ஆற்றல்)
  4. dL = T * V (product of kinetic and potential energy forms) — L = T * V (இயக்க மற்றும் சாத்தியக்கூறு ஆற்றல் வடிவங்களின் பெருக்கல்)

Explanation

The difference, not the sum. The sum T + V is the total energy, which coincides with the Hamiltonian under suitable conditions.

வித்தியாசம், தொகை அல்ல. T + V என்பது மொத்த ஆற்றல் ஆகும், இது பொருத்தமான சூழ்நிலையில் ஹாமில்டோனியனுடன் ஒத்துப்போகிறது.

Q5Easy

The Euler-Lagrange equations of motion are:

இயக்கத்தின் ஆய்லர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகள்:

  1. apartial L / partial q'_i - d^2/dt^2(partial L / partial q_i) = 0
  2. bd/dt(partial L / partial q'_i) * partial L / partial q_i = 0
  3. cd/dt(partial L / partial q_i) + partial L / partial q'_i = 0
  4. dd/dt(partial L / partial q'_i) - partial L / partial q_i = 0 for each degree of freedom — ஒவ்வொரு சுதந்திர நிலைக்கும் d/dt(partial L / partial q'_i) - partial L / partial q_i = 0✓ Correct

Explanation

One second order equation per degree of freedom. Their great advantage is that constraint forces never appear, and the form is unchanged by any coordinate transformation.

ஒரு டிகிரி சுதந்திரத்திற்கு ஒரு இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு. அவற்றின் பெரிய நன்மை என்னவென்றால், கட்டுப்படுத்தும் சக்திகள் ஒருபோதும் தோன்றாது, மேலும் எந்த ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தாலும் வடிவம் மாறாது.

20 more questions on Generalised Coordinates and Lagrange Equations

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing