Q1Easy
The bisection method for finding roots of f(x)=0 on [a,b] (f(a)*f(b)<0) halves the interval each step. After n iterations, the error is at most:
[a,b] (f(a) * f(b) <0) இல் f(x) =0 இன் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான பிளவு முறையானது ஒவ்வொரு அடியிலும் இடைவெளியை பாதியாகக் குறைக்கிறது. n மறுமுறைக்குப் பிறகு, பிழை அதிகபட்சம்:
- a(b-a)/2
- b(b-a)/n
- c(b-a)/2^n✓ Correct
- dn*(b-a)
Explanation
Bisection: each step halves the interval. After n steps, the interval has length (b-a)/2^n, so the root is within (b-a)/2^{n+1} of the midpoint. Linear convergence (halves each step). To achieve error < epsilon: n > log_2((b-a)/epsilon) steps. Guaranteed convergence if f is continuous and changes sign.
பிரிவு: ஒவ்வொரு அடியும் இடைவெளியை பாதியாக குறைக்கிறது. n படிகளுக்குப் பிறகு, இடைவெளியில் நீளம் (b-a)/2^n உள்ளது, எனவே ரூட் நடுப்புள்ளியின் (b-a)/2^{n+1} க்குள் இருக்கும். நேரியல் ஒருங்கிணைப்பு (ஒவ்வொரு அடியையும் பாதியாகக் குறைக்கிறது). பிழையை அடைய <epsilon: n > log_2((b-a) /epsilon) படிகள். f தொடர்ச்சியாக இருந்தால் மற்றும் அடையாளத்தை மாற்றினால் ஒன்றிணைதல் உறுதி.
Q2Easy
Newton-Raphson iteration for f(x)=0: x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n). Starting with x_0=1 for f(x)=x^2-2 (finding sqrt(2)):
f(x) =0 க்கான நியூட்டன்-ராப்சன் மறு செய்கை: x_{n+1} = x_n - f(x_n) /f'(x_n). f(x) = x^2-2க்கு x_0=1 இலிருந்து தொடங்குகிறது (sqrt(2) ஐக் கண்டறிதல்):
- ax_1 = 1.25
- bx_1 = 2
- cx_1 = 1
- dx_1 = 1.5✓ Correct
Explanation
x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0) = 1 - (1-2)/(2*1) = 1 - (-1/2) = 1.5. The true value is sqrt(2) approx 1.41421. x_2 = 1.5 - (2.25-2)/(2*1.5) = 1.5 - 0.25/3 = 1.5 - 0.0833 = 1.4167. Quadratic convergence: x_2 is already very close.
x_1 = x_0 - f(x_0) /f'(x_0) = 1 - (1-2)/(2*1) = 1 - (- 1/2 ) = 1.5 . உண்மையான மதிப்பு f(x_n)0 தோராயமாக f(x_n)1 ஆகும். x_2 = f(x_n)2 - (f(x_n)3 -2)/(2* f(x_n)4) = f(x_n)5 - f(x_n)6 /3 = f(x_n)7 - f(x_n)8 = f(x_n)9. இருபடி ஒருங்கிணைப்பு: x_2 ஏற்கனவே மிக அருகில் உள்ளது.
Q3Easy
The secant method uses two previous iterates: x_{n+1} = x_n - f(x_n)*(x_n - x_{n-1})/(f(x_n)-f(x_{n-1})). Compared to Newton-Raphson, the secant method:
secant முறை இரண்டு முந்தைய மறு செய்கைகளைப் பயன்படுத்துகிறது: x_{n+1} = x_n - f(x_n) *(x_n - x_{n-1})/( f(x_n) - f(x_{n-1}) ). நியூட்டன்-ராப்சனுடன் ஒப்பிடும்போது, செகண்ட் முறை:
- ax_{n+1} = x_n − f(x_n) / f'(x_n) (quadratic convergence near simple roots) — x_{n+1} = x_n − f(x_n) / f'(x_n) (எளிய மூலங்களுக்கு அருகில் இருபடி குவிதல்)✓ Correct
- bx_{n+1} = x_n − f(x_n) · f'(x_n) using derivative multiplication — வகைக்கெழு பெருக்கலுடன் x_{n+1} = x_n − f(x_n) · f'(x_n)
- cx_{n+1} = [x_n + f(x_n)] / 2 as an arithmetic bisection step — கூட்டு இருசமவெட்டிப் படியாக x_{n+1} = [x_n + f(x_n)] / 2
- dx_{n+1} = x_n − f'(x_n) / f(x_n) with inverted derivative quotient — மாற்றப்பட்ட வகைக்கெழு ஈவுடன் x_{n+1} = x_n − f'(x_n) / f(x_n)
Explanation
Secant method: approximates f'(x_n) by the secant (x_n-x_{n-1})/(f(x_n)-f(x_{n-1})). No derivative needed (useful when f' is unavailable or expensive). Order of convergence: p = (1+sqrt(5))/2 approx 1.618 (golden ratio). Two function evaluations per two steps (Newton: one f' + one f per step), so secant is faster per function evaluation in many cases.
செகண்ட் முறை: தோராயமாக f'(x_n) secant (x_n-x_{n-1})/( f(x_n) - f(x_{n-1}) ). வழித்தோன்றல் தேவையில்லை (f' கிடைக்காதபோது அல்லது விலை உயர்ந்ததாக இருக்கும்போது பயனுள்ளதாக இருக்கும்). ஒருங்கிணைப்பு வரிசை: p = (1+ sqrt(5) )/2 தோராயமாக 1.618 (தங்க விகிதம்). இரண்டு படிகளுக்கு இரண்டு செயல்பாடு மதிப்பீடுகள் (நியூட்டன்: ஒரு படிக்கு ஒரு எஃப்' + ஒரு எஃப்), எனவே பல நிகழ்வுகளில் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பீட்டிற்கு செகண்ட் வேகமாக இருக்கும்.
Q4Easy
Fixed-point iteration x_{n+1} = g(x_n) converges if |g'(x*)| < 1 near the fixed point x*. For solving x = cos(x), the iteration x_{n+1} = cos(x_n):
நிலையான-புள்ளி மறு செய்கை x_{n+1} = |g'(x*)| எனில் g(x_n) ஒன்றிணைகிறது. நிலையான புள்ளி x*க்கு அருகில் <1. x = cos(x) ஐ தீர்க்க, மறு செய்கை x_{n+1} = cos(x_n):
- aHas quadratic convergence — இருபடி ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது
- bConverges (since |g'(x)| = |sin(x)| <= 1 and near x* approx 0.739: |sin(0.739)| approx 0.674 < 1) — ஒன்றிணைகிறது (இலிருந்து |g'(x)| = | sin(x) | <= 1 மற்றும் x*க்கு அருகில் 0.739 : | sin(0.739) | தோராயமாக 0.674 < 1)✓ Correct
- cDiverges always — எப்போதும் வேறுபடுகிறது
- dConverges only from x_0=0 — x_0=0 இலிருந்து மட்டுமே ஒன்றிணைகிறது
Explanation
x=cos(x): g(x)=cos(x), g'(x)=-sin(x). At fixed point x* approx 0.7391: |g'(x*)| = |sin(0.7391)| approx 0.674 < 1. So the iteration converges (linear). The contraction mapping theorem guarantees convergence from any starting point where |g'| < k < 1.
x= cos(x) : g(x) = cos(x) , g'(x)=- cos(x)0 . நிலையான புள்ளியில் x* தோராயமாக cos(x)1 : |g'(x*)| = | cos(x)2 | தோராயமாக cos(x)3 < 1. எனவே மறு செய்கை ஒன்றிணைகிறது (நேரியல்). சுருக்க மேப்பிங் தேற்றம் எந்த தொடக்க புள்ளியிலிருந்தும் |g'| < k < 1.
Q5Easy
The method of false position (Regula Falsi) uses linear interpolation on the secant to bracket the root. Unlike bisection, which always halves the interval, Regula Falsi:
தவறான நிலையின் முறை (ரெகுலா ஃபால்சி) மூலத்தை அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்க செகண்டில் நேரியல் இடைக்கணிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது. எப்பொழுதும் இடைவெளியை பாதியாகக் குறைக்கும் இரு பிரிவைப் போலன்றி, ரெகுலா ஃபால்ஸி:
- aAlways converges faster than bisection — எப்பொழுதும் இரு பிரிவை விட வேகமாக ஒன்றிணைகிறது
- bMay converge slowly (one endpoint may be fixed for many steps) but always brackets the root — மெதுவாக ஒன்றிணையலாம் (ஒரு முனைப்புள்ளி பல படிகளுக்கு நிலையானதாக இருக்கலாம்) ஆனால் எப்போதும் ரூட் அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும்✓ Correct
- cDoes not require f(a)*f(b)<0 — f(a) * f(b) <0 தேவையில்லை
- dHas quadratic convergence — இருபடி ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது
Explanation
Regula Falsi: new point = x = a - f(a)*(b-a)/(f(b)-f(a)) (linear interpolation). Always maintains a bracket. But one endpoint may not change for many steps (the root is near one end), causing slow convergence. Illinois modification or Anderson-Bjork modification improves this. Converges superlinearly in practice for many problems.
ரெகுலா ஃபால்ஸி: புதிய புள்ளி = x = a - f(a) *(b-a)/( f(b) - f(a) ) (நேரியல் இடைக்கணிப்பு). எப்போதும் ஒரு அடைப்புக்குறியை பராமரிக்கிறது. ஆனால் ஒரு முனைப்புள்ளி பல படிகளுக்கு மாறாமல் இருக்கலாம் (ரூட் ஒரு முனைக்கு அருகில் உள்ளது), இது மெதுவாக ஒன்றிணைக்கும். இல்லினாய்ஸ் மாற்றம் அல்லது ஆண்டர்சன்-பிஜோர்க் மாற்றம் இதை மேம்படுத்துகிறது. பல பிரச்சனைகளுக்கு நடைமுறையில் மேலோட்டமாக ஒன்றிணைகிறது.
20 more questions on Solution of Equations
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.