Numerical Solution of ODEs — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Numerical Solution of ODEs, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

Euler's method for y'=f(x,y), y(x_0)=y_0 advances by: y_{n+1} = y_n + h*f(x_n,y_n). The local truncation error (per step) is:

y'= f(x,y) , y(x_0) =y_0 க்கான யூலரின் முறை: y_{n+1} = y_n + h* f(x_n,y_n) . உள்ளூர் துண்டிப்பு பிழை (ஒரு படி)

  1. aO(h^2)✓ Correct
  2. bO(h^4)
  3. cO(h)
  4. dO(h^3)

Explanation

Euler local truncation error: e_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1} = h^2/2 * y''(xi) = O(h^2). Global (accumulated) error: O(h) over a fixed interval [x_0,X] (one order less than local). Euler is a 1st order method. It is the simplest Runge-Kutta method (RK1). Stability: the method is stable for h*lambda within the unit disk centered at -1 (for y'=lambda*y).

யூலர் உள்ளூர் துண்டிப்பு பிழை: e_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1} = h^2 /2 * y''(xi) = O(h^2) . உலகளாவிய (திரட்டப்பட்ட) பிழை: y(x_0)0 ஒரு நிலையான இடைவெளியில் [x_0,X] (உள்ளூர் விட ஒரு ஆர்டர் குறைவு). ஆய்லர் என்பது முதல் வரிசை முறை. இது எளிமையான ரன்ஜ்-குட்டா முறை (RK1). நிலைத்தன்மை: -1 ஐ மையமாகக் கொண்ட யூனிட் வட்டுக்குள் h*lambda க்கு முறை நிலையானது (y'=lambda*y).

Q2Easy

The classical 4th-order Runge-Kutta method (RK4) for y'=f(x,y): y_{n+1}=y_n + h/6*(k_1+2k_2+2k_3+k_4). The number of function evaluations of f per step is:

y'= f(x,y)க்கான கிளாசிக்கல் 4வது வரிசை Runge-Kutta முறை (RK4) : y_{n+1}=y_n + h/6*(k_1+2k_2+2k_3+k_4). ஒரு படிக்கு f இன் செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகளின் எண்ணிக்கை:

  1. a4✓ Correct
  2. b2
  3. c6
  4. d1

Explanation

RK4: k_1=f(x_n,y_n), k_2=f(x_n+h/2, y_n+h/2*k_1), k_3=f(x_n+h/2, y_n+h/2*k_2), k_4=f(x_n+h, y_n+h*k_3). Four f evaluations per step. Local truncation error: O(h^5). Global error: O(h^4). Balance of accuracy and cost: RK4 is the most widely used fixed-step ODE solver.

RK4: k_1= f(x_n,y_n), k_2= f(x_n+h/2, y_n+h/2*k_1), k_3= f(x_n+h/2, y_n+h/2*k_2), k_4= f(x_n+h, y_n+h*k_3). ஒரு படிக்கு நான்கு எஃப் மதிப்பீடுகள். உள்ளூர் துண்டிப்பு பிழை: O(h^5) . உலகளாவிய பிழை: O(h^4) . துல்லியம் மற்றும் விலையின் இருப்பு: RK4 என்பது மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் நிலையான-படி ODE தீர்வாகும்.

Q3Easy

Heun's method (improved Euler, a predictor-corrector): predict y*_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n), then correct y_{n+1}=y_n+h/2*(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y*_{n+1})). This is a:

Heun இன் முறை (மேம்படுத்தப்பட்ட Euler, ஒரு கணிப்பான்-திருத்துபவர்): y*_{n+1}=y_n+h* f(x_n,y_n) ஐக் கணித்து, பின்னர் y_{n+1}=y_n+h/2*(f(x_n,y_n) + f(x_{n+1},y*_{n+1}) ). இது ஒரு:

  1. ay_{n+1} = y_n + h f(x_n + h/2, y_n + h/2) (Midpoint method) — y_{n+1} = y_n + h f(x_n + h/2, y_n + h/2) (நடுப்புள்ளி முறை)
  2. by_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) with local truncation error O(h²) — y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) (உள்ளூர் துண்டிப்புப் பிழை O(h²))✓ Correct
  3. cy_{n+1} = y_n + (h/2) [f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1})] (Heun method) — y_{n+1} = y_n + (h/2) [f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1})] (ஹியூன் முறை)
  4. dy_{n+1} = y_{n-1} + 2h f(x_n, y_n) (Midpoint leapfrog scheme) — y_{n+1} = y_{n-1} + 2h f(x_n, y_n) (தவளைப்பாய்ச்சல் திட்டம்)

Explanation

Heun = RK2: the corrector uses the trapezoidal rule for the average slope. Global error O(h^2). The Butcher tableau: c=[0,1], A=[[0,0],[1,0]], b=[1/2,1/2]. Heun is a 2-stage explicit RK method of order 2. The midpoint method (y_{n+1}=y_n+h*f(x_n+h/2, y_n+h/2*f(x_n,y_n))) is another 2nd order method.

Heun = RK2: திருத்துபவர் சராசரி சாய்வுக்கான ட்ரெப்சாய்டல் விதியைப் பயன்படுத்துகிறார். உலகளாவிய பிழை O(h^2) . கசாப்பு அட்டவணை: c=[0,1], A=[[0,0],[1,0]], b=[ 1/2 , 1/2 ]. Heun என்பது 2-நிலை வெளிப்படையான RK முறையாகும்.

Q4Easy

The 4-step Adams-Bashforth method: y_{n+1} = y_n + h/24*(55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3}). It is an explicit multistep method of order:

4-படி Adams-Bashforth முறை: y_{n+1} = y_n + h/24*(55f_n - 59f_{n-1} + 37f_{n-2} - 9f_{n-3}). இது ஒரு வெளிப்படையான பலபடி வரிசை முறை:

  1. a3
  2. b5
  3. c4✓ Correct
  4. d2

Explanation

Adams-Bashforth 4-step: order 4 (local truncation error O(h^5)). It uses f values at 4 previous points (explicit: no solving at each step). Advantages over RK4: only 1 new f evaluation per step (vs 4 for RK4). Disadvantage: needs 3 prior values (startup using RK4 for first 3 steps). Adams-Bashforth coefficients derived from Newton backward interpolation of f.

Adams-Bashforth 4-படி: ஆர்டர் 4 (உள்ளூர் துண்டிப்பு பிழை O(h^5) ). இது 4 முந்தைய புள்ளிகளில் f மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறது (வெளிப்படையானது: ஒவ்வொரு படியிலும் தீர்வு இல்லை). RK4 ஐ விட நன்மைகள்: ஒரு படிக்கு 1 புதிய f மதிப்பீடு மட்டுமே (RK4 க்கு எதிராக 4). குறைபாடு: 3 முன் மதிப்புகள் தேவை (முதல் 3 படிகளுக்கு RK4 ஐப் பயன்படுத்தி தொடங்கவும்). ஆடம்ஸ்-பாஷ்ஃபோர்த் குணகங்கள் எஃப் இன் நியூட்டன் பின்தங்கிய இடைக்கணிப்பிலிருந்து பெறப்பட்டது.

Q5Easy

The Adams-Moulton 4-step method: y_{n+1}=y_n+h/720*(251f_{n+1}+646f_n-264f_{n-1}+106f_{n-2}-19f_{n-3}). It is:

Adams-Moulton 4-படி முறை: y_{n+1}=y_n+h/720*(251f_{n+1}+646f_n-264f_{n-1}+106f_{n-2}-19f_{n-3}). இது:

  1. aImplicit (corrector): f_{n+1} appears on the right side, requiring solving an equation at each step — மறைமுகமான (திருத்துபவர்): வலது பக்கத்தில் f_{n+1} தோன்றும், ஒவ்வொரு அடியிலும் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும்✓ Correct
  2. bExplicit (predictor) — வெளிப்படையான (முன்கணிப்பாளர்)
  3. cOnly applicable to linear ODEs — நேரியல் ODE களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்
  4. dA Runge-Kutta method — A Runge-Kutta முறை

Explanation

Adams-Moulton: implicit (f_{n+1}=f(x_{n+1},y_{n+1}) must be evaluated at the unknown y_{n+1}). For nonlinear f: functional iteration or Newton. In practice: combine Adams-Bashforth (predict y*_{n+1}) and Adams-Moulton (correct). This PECE scheme has order 4 with smaller error constant than AB4. Used in MATLAB ode113 and many production ODE solvers.

Adams-Moulton: மறைமுகமான (f_{n+1}= f(x_{n+1},y_{n+1}) என்பது தெரியாத y_{n+1} இல் மதிப்பிடப்பட வேண்டும்). நேரியல் அல்லாத f: செயல்பாட்டு மறு செய்கை அல்லது நியூட்டன். நடைமுறையில்: Adams-Bashforth (y*_{n+1}) மற்றும் Adams-Moulton (சரியானது) ஆகியவற்றை இணைக்கவும். இந்த PECE திட்டமானது AB4 ஐ விட சிறிய பிழை மாறிலியுடன் வரிசை 4 ஐக் கொண்டுள்ளது. MATLAB ode113 மற்றும் பல உற்பத்தி ODE தீர்வுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

20 more questions on Numerical Solution of ODEs

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing