Q1Easy
lim_{x→a} f(x) = L means: for every ε > 0, there exists δ > 0 such that:
lim_{x→a} f(x) = L என்றால்: ஒவ்வொரு ε > 0 க்கும், δ > 0 உள்ளது:
- a|x| < δ ⟹ |f(x)| < ε — |x| < δ ⟹ | f(x) | < ε
- bx < a+δ ⟹ f(x) < L+ε
- c|f(x)−L| < ε ⟹ |x−a| < δ — | f(x) −L| < ε ⟹ |x−a| < δ
- d0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < ε — 0 < |x−a| < δ ⟹ | f(x) −L| < ε✓ Correct
Explanation
Cauchy ε-δ definition: ∀ε>0, ∃δ>0 such that 0<|x−a|<δ ⟹ |f(x)−L|<ε. Note 0<|x−a| excludes x=a (limit doesn't depend on f(a)).
Cauchy ε-δ வரையறை: ∀ε>0, ∃δ>0 போன்ற 0<|x−a|<δ ⟹ | f(x) −L|<ε. குறிப்பு 0<|x−a| x=a (வரம்பு f(a)ஐச் சார்ந்து இல்லை)
Q2Easy
lim_{x→0} sin(x)/x =
லிம்_{x→0} sin(x) /x =
- aπ
- b∞
- c1✓ Correct
- d0
Explanation
lim_{x→0} sin(x)/x = 1. This is the fundamental trigonometric limit, proved using the squeeze theorem with cos x ≤ sin x/x ≤ 1 for 0 < x < π/2.
lim_{x→0} sin(x) /x = 1. இது அடிப்படை முக்கோணவியல் வரம்பு, இது 0 < x < π/2 க்கு cos x ≤ sin x/x ≤ 1 உடன் அழுத்தும் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கப்பட்டது.
Q3Easy
A function f is continuous at point a if:
ஒரு சார்பு f என்பது ஒரு புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால்:
- alim_{x→a} f(x) = f(a) — லிம்_{x→a} f(x) = f(a)✓ Correct
- bf(a) is defined only — f(a) மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
- clim_{x→a} f(x) exists only — lim_{x→a} f(x) மட்டுமே உள்ளது
- df is differentiable at a — f என்பது a இல் வேறுபடுகிறது
Explanation
f is continuous at a iff: (1) f(a) is defined, (2) lim_{x→a} f(x) exists, and (3) they are equal. Equivalent: for every ε>0, ∃δ>0 with |x−a|<δ ⟹ |f(x)−f(a)|<ε.
f என்பது ஒரு IF இல் தொடர்கிறது: (1) f(a) வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, (2) lim_{x→a} f(x) உள்ளது, (3) அவை சமமானவை. சமமானது: ஒவ்வொரு ε>0, ∃δ>0 உடன் |x−a|<δ ⟹ | f(x) - f(a) |<ε.
Q4Easy
The function f(x) = sin(1/x) at x = 0 has a:
x = 0 இல் உள்ள f(x) = sin(1/x) சார்பு:
- aJump discontinuity — ஜம்ப் இடைநிறுத்தம்
- bEssential (oscillatory) discontinuity — அத்தியாவசிய (ஊசலாட்ட) இடைநிறுத்தம்✓ Correct
- cRemovable discontinuity — நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தம்
- dNo discontinuity — இடைநிறுத்தம் இல்லை
Explanation
sin(1/x) oscillates infinitely rapidly near x=0. Neither one-sided limit exists. This is an essential (oscillatory) discontinuity. Compare: f(x)=x·sin(1/x) has a removable discontinuity at 0 (limit = 0).
sin(1/x) x=0 க்கு அருகில் எண்ணற்ற வேகத்தில் ஊசலாடுகிறது. ஒருதலைப்பட்ச வரம்பு எதுவும் இல்லை. இது ஒரு இன்றியமையாத (ஊசலாட்ட) இடைநிறுத்தமாகும். ஒப்பிடுக: f(x) =x· sin(1/x) 0 இல் நீக்கக்கூடிய இடைநிறுத்தத்தைக் கொண்டுள்ளது (வரம்பு = 0).
Q5Easy
The Intermediate Value Theorem states: if f is continuous on [a,b] and f(a) < c < f(b), then:
இடைநிலை மதிப்பு தேற்றம் கூறுகிறது: f ஆனது [a,b] மற்றும் f(a) < c < f(b) இல் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், பின்:
- aThere exists x₀ ∈ (a,b) with f(x₀) = c — f(x₀) = c உடன் x₀ ∈ (a,b) உள்ளது✓ Correct
- bf is differentiable on [a,b] — f என்பது [a,b] இல் வேறுபடுகிறது
- cf(c) = 0
- dc ∈ [a,b]
Explanation
IVT: a continuous function on [a,b] takes every value between f(a) and f(b). Consequence: if f(a) and f(b) have opposite signs, there is a root in (a,b).
IVT: [a,b] இல் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f(a) மற்றும் f(b) இடையே உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பையும் எடுக்கும். விளைவு: f(a) மற்றும் f(b) ஆகியவை எதிரெதிர் அடையாளங்களைக் கொண்டிருந்தால், (a,b) இல் ஒரு வேர் இருக்கும்.
20 more questions on Limits and Continuity
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.