Gaussian Curvature Lines of Curvature and Asymptotic Lines — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Gaussian Curvature Lines of Curvature and Asymptotic Lines, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

Gauss Theorema Egregium states that the Gaussian curvature K is:

காஸியன் வளைவு K என்பது காஸ் தேரமா எக்ரேஜியம் கூறுகிறது:

  1. aSemi-intrinsic: invariant only under conformal mappings preserving angles — அரை-உள்ளார்ந்தது: கோணங்களைப் பாதுகாக்கும் இணக்கமான வரைபடங்களின் கீழ் மட்டுமே மாறாதது
  2. bIntrinsic: computable from first fundamental form alone, hence invariant under isometries — உள்ளார்ந்தது: முதல் அடிப்படை வடிவத்திலிருந்து மட்டுமே கணக்கிடக்கூடியது, எனவே சமஅளவைகளின் கீழ் மாறாதது✓ Correct
  3. cExtrinsic: requires knowledge of the embedding space and unit normal vector — வெளிப்புறமானது: பொதிவு வெளி மற்றும் அலகு செங்குத்து வெக்டரின் அறிவு தேவைப்படுகிறது
  4. dTopological: invariant under all homeomorphisms preserving Euler characteristic — இடவியல்: ஆய்லர் பண்பைப் பாதுகாக்கும் அனைத்து ஹோமியோமார்பிசங்களின் கீழும் மாறாதது

Explanation

Remarkable because K is DEFINED as the product of principal curvatures, which are extrinsic. It explains why a flat sheet of paper cannot be wrapped onto a sphere without distortion.

குறிப்பிடத்தக்கது, ஏனெனில் K ஆனது முக்கிய வளைவுகளின் உற்பத்தியாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அவை வெளிப்புறமாக உள்ளன. ஒரு தட்டையான காகிதத்தை ஏன் உருமாற்றம் இல்லாமல் ஒரு கோளத்தின் மீது சுற்ற முடியாது என்பதை இது விளக்குகிறது.

Q2Easy

The Gaussian curvature of a sphere of radius a is:

ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளத்தின் காஸியன் வளைவு:

  1. a1/a^2, constant and positive — 1/ a^2 , நிலையான மற்றும் நேர்மறை✓ Correct
  2. b0
  3. ca^2
  4. d1/a

Explanation

Both principal curvatures equal 1/a, so K = 1/a^2 and H = 1/a. Larger spheres are flatter, which matches everyday experience of the Earth.

இரண்டு முக்கிய வளைவுகளும் 1/a சமம், எனவே K = 1/ a^2 மற்றும் H = 1/a. பெரிய கோளங்கள் தட்டையானவை, இது பூமியின் அன்றாட அனுபவத்துடன் பொருந்துகிறது.

Q3Easy

The Gaussian curvature of a plane and of a circular cylinder are, respectively:

ஒரு விமானத்தின் காஸியன் வளைவு மற்றும் ஒரு வட்ட உருளை முறையே:

  1. a0 and 0 — 0 மற்றும் 0✓ Correct
  2. b0 and 1/a^2 — 0 மற்றும் 1/ a^2
  3. c1 and 0 — 1 மற்றும் 0
  4. d0 and 1/a — 0 மற்றும் 1/a

Explanation

For the cylinder one principal curvature is 1/a and the other is 0 along the generator, so their product vanishes. Hence a cylinder is isometric to a plane, but its mean curvature 1/(2a) is nonzero.

சிலிண்டருக்கு ஒரு முக்கிய வளைவு 1/a மற்றும் மற்றொன்று 0 ஜெனரேட்டருடன் உள்ளது, எனவே அவற்றின் தயாரிப்பு மறைந்துவிடும். எனவே ஒரு சிலிண்டர் ஒரு விமானத்திற்கு ஐசோமெட்ரிக் ஆகும், ஆனால் அதன் சராசரி வளைவு 1/(2a) பூஜ்ஜியமற்றது.

Q4Easy

The pseudosphere, generated by revolving a tractrix, has Gaussian curvature:

சூடோஸ்பியர், ஒரு டிராக்ட்ரிக்ஸைச் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாக்கப்படுகிறது, காஸியன் வளைவு உள்ளது:

  1. aConstant positive — நிலையான நேர்மறை
  2. bVariable positive — மாறி நேர்மறை
  3. cConstant and negative — நிலையான மற்றும் எதிர்மறை✓ Correct
  4. dZero — பூஜ்யம்

Explanation

It provides a local model of hyperbolic geometry, though only an incomplete one, by Hilbert theorem.

இது ஹைபர்போலிக் வடிவவியலின் உள்ளூர் மாதிரியை வழங்குகிறது, ஆனால் முழுமையடையாத ஒன்று மட்டுமே, ஹில்பர்ட் தேற்றம்.

Q5Easy

On a torus of revolution, the Gaussian curvature is:

புரட்சியின் ஒரு முனையில், காஸியன் வளைவு:

  1. aNegative on the outer part and positive on the inner part near the hole — வெளிப்புறப் பகுதியில் எதிர்மறை மற்றும் துளைக்கு அருகில் உள்ள உட்புறப் பகுதியில் நேர்மறை
  2. bIdentically zero everywhere on the torus, making it a developable surface — டோரஸில் எங்கும் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியம், அதை உருவாக்கக்கூடிய மேற்பரப்பாக மாற்றுகிறது
  3. cPositive on the outer part, negative on the inner part, zero on top/bottom circles — வெளிப்புறப் பகுதியில் நேர்மறை, உட்புறப் பகுதியில் எதிர்மறை, மேல்/கீழ் வட்டங்களில் பூஜ்ஜியம்✓ Correct
  4. dStrictly positive everywhere on the torus, making it locally convex — டோரஸில் எங்கும் கண்டிப்பாக நேர்மறை, அதை உள்நாட்டில் குவிந்ததாக மாற்றுகிறது

Explanation

Consistent with Gauss-Bonnet: the total curvature integrates to 2 pi times the Euler characteristic of the torus, which is 0, so the positive and negative regions cancel exactly.

Gauss-Bonnet உடன் இணக்கமானது: மொத்த வளைவு டோரஸின் யூலர் குணாதிசயத்தை விட 2 pi மடங்குக்கு ஒருங்கிணைக்கிறது, இது 0 ஆகும், எனவே நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை பகுதிகள் சரியாக ரத்து செய்யப்படுகிறது.

20 more questions on Gaussian Curvature Lines of Curvature and Asymptotic Lines

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing